ملخص

Derivation

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\text{Circle diameter}}=1&\therefore {\text{radius,}}\ r={\tfrac {1}{2}}\\\triangle {\text{OAC}}:{\tfrac {y}{r}}=\sin \theta &\therefore y={\tfrac {\sin \theta }{2}}\\\triangle {\text{OAC}}:{\tfrac {x}{r}}=\cos \theta &\therefore x={\tfrac {\cos \theta }{2}}\\{\text{Area of circle}}&=\pi r^{2}=\pi ({\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {\pi }{4}}\\{\text{Area of }}\triangle {\text{OAC}}&={\tfrac {1}{2}}xy={\tfrac {\sin \theta \cos \theta }{8}}={\tfrac {2\sin \theta \cos \theta }{16}}={\tfrac {\sin 2\theta }{16}}\\{\text{Area of sector OAD}}&={\tfrac {\theta }{2\pi }}({\text{Area of circle}})={\tfrac {\theta }{2\pi }}{\tfrac {\pi }{4}}={\tfrac {\theta }{8}}\\{\text{Area of ABED}}&=4({\text{Area of OAD}}-{\text{Area of OAC}})\\&=4({\tfrac {\theta }{8}}-{\tfrac {\sin 2\theta }{16}})={\tfrac {2\theta -\sin 2\theta }{4}}\\f={\dfrac {\text{Area of ABED}}{\text{Area of circle}}}&={\dfrac {\tfrac {2\theta -\sin 2\theta }{4}}{\tfrac {\pi }{4}}}={\dfrac {2\theta -\sin 2\theta }{\pi }}\\{\text{where }}{\tfrac {1}{2}}+x+{\tfrac {1-t}{2}}=1&\therefore {\tfrac {\cos \theta }{2}}={\tfrac {t}{2}}\therefore \theta =\arccos t\end{array}}}$

ترخيص

أنا، صاحب حقوق التأليف والنشر لهذا العمل، أنشر هذا العمل تحت الرخصة التالية:

هذا الملفُّ مُرخَّصٌ برخصة المشاع الإبداعي الدَّوليَّة المُلزِمة بنسب العمل إلى مُؤَلِّفه وبترخيص المُشتقَّات بالمثل 4.0.

يحقُّ لك:

• مشاركة العمل – نسخ العمل وتوزيعه وبثُّه
• إعادة إنتاج العمل – تعديل العمل

حسب الشروط التالية:

• نسب العمل إلى مُؤَلِّفه – يلزم نسب العمل إلى مُؤَلِّفه بشكل مناسب وتوفير رابط للرخصة وتحديد ما إذا أجريت تغييرات. بالإمكان القيام بذلك بأية طريقة معقولة، ولكن ليس بأية طريقة تشير إلى أن المرخِّص يوافقك على الاستعمال.
• الإلزام بترخيص المُشتقات بالمثل – إذا أعدت إنتاج المواد أو غيرت فيها، فيلزم أن تنشر مساهماتك المُشتقَّة عن الأصل تحت ترخيص الأصل نفسه أو تحت ترخيص مُتوافِقٍ معه.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue