في الرياضيات ، صيغة فاولابر ، المسماة على اسم جوهان فاولابر ، تعبر عن مجموع قوى الأعداد الطبيعية n الأولى من الدرجة p:
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
2
p
+
3
p
+
⋯
+
n
p
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}
بأنه متعددة للحدود متغيرها n ، ذات الدرجة (p + 1) والتي تدخل في معاملاتها أعداد بيرنولي .
أعداد بيرنولي غالبا بالاصطلاح العام هُن:
B
0
=
1
,
B
1
=
−
1
2
,
B
2
=
1
6
,
B
3
=
0
,
B
4
=
−
1
30
,
…
{\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{1}=-{1 \over 2},\quad B_{2}={1 \over 6},\quad B_{3}=0,\quad B_{4}=-{1 \over 30},\quad \dots }
حيث
B
1
=
1
2
{\displaystyle B_{1}={1 \over 2}}
−
1
2
{\displaystyle -1 \over 2}
ولكن للوهلة التي نتبع فيها اصطلاحا قد لا يبدوا مألوفا، بأن B 1 = +1/2, وجميع أعداد بيرنولي الأخرى تظل كما هي أعلاه (ولكن انظر الأسفل للمزيد حول هذا الموضوع).
تنص الصيغة أن
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
B
j
n
p
+
1
−
j
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}}
(المعامل j يعمل فقط حتى p ، وليس حتى p + 1).
لم يعلم فاولابر أن الصيغة بهذا الشكل. كان على الأقل قد عرف الـ17 حالة الأولى والحقيقة القائلة بأنه عندما يكون الأس فرديا ، فإن المجموع يصبح كثيرة حدود للمجموع في الخالة الخاصة حين يكون الأسis 1، كما كان أيضا قد علم ببعض التعميمات الجديرة بالملاحظة.[ 1] The Book of Numbers ) لـجون هورتون كونوي ورتشارد غاي .[ 2]
1
+
2
+
3
+
⋯
+
n
=
n
(
n
+
1
)
2
=
n
2
+
n
2
{\displaystyle 1+2+3+\cdots +n={n(n+1) \over 2}={n^{2}+n \over 2}}
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
=
2
n
3
+
3
n
2
+
n
6
{\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}={2n^{3}+3n^{2}+n \over 6}}
1
3
+
2
3
+
3
3
+
⋯
+
n
3
=
(
n
2
+
n
2
)
2
=
n
4
+
2
n
3
+
n
2
4
{\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({n^{2}+n \over 2}\right)^{2}={n^{4}+2n^{3}+n^{2} \over 4}}
1
4
+
2
4
+
3
4
+
⋯
+
n
4
=
6
n
5
+
15
n
4
+
10
n
3
−
n
30
{\displaystyle 1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}={6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n \over 30}}
1
5
+
2
5
+
3
5
+
⋯
+
n
5
=
2
n
6
+
6
n
5
+
5
n
4
−
n
2
12
{\displaystyle 1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2} \over 12}}
1
6
+
2
6
+
3
6
+
⋯
+
n
6
=
6
n
7
+
21
n
6
+
21
n
5
−
7
n
3
+
n
42
{\displaystyle 1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}={6n^{7}+21n^{6}+21n^{5}-7n^{3}+n \over 42}}
[ عدل ] يمكن أيضا كتابة
∑
k
=
0
n
k
p
=
φ
p
+
1
(
n
+
1
)
−
φ
p
+
1
(
0
)
p
+
1
,
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{p}={\frac {\varphi _{p+1}(n+1)-\varphi _{p+1}(0)}{p+1}},}
حيثφj متعدد حدود بيرنولي حتى الحد j .
في التفاضل الظلالي التقليدي يتم معاملة 'j العوامل في تعاقب أو سلسلة B على أنها قوى، حتى نستطيع في هذه الحال تطبيق نظرية ذات الحدين ونقول:
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
B
j
n
p
+
1
−
j
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
B
j
n
p
+
1
−
j
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B^{j}n^{p+1-j}}
=
(
B
+
n
)
p
+
1
−
B
p
+
1
p
+
1
.
{\displaystyle ={(B+n)^{p+1}-B^{p+1} \over p+1}.}
في الشكل الحديث للتفاضل الظلالي، يتم اعتبار الشكل الخطي T على الفضاء الشعاعي لمتعدادت حدود (كثيرات حدود ) في متغير b معطى بالعلاقة
T
(
b
j
)
=
B
j
.
{\displaystyle T(b^{j})=B_{j}.\,}
ويمكن القول حينئذ
∑
k
=
1
n
k
p
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
B
j
n
p
+
1
−
j
=
1
p
+
1
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
T
(
b
j
)
n
p
+
1
−
j
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}T(b^{j})n^{p+1-j}}
=
1
p
+
1
T
(
∑
j
=
0
p
(
p
+
1
j
)
b
j
n
p
+
1
−
j
)
=
T
(
(
b
+
n
)
p
+
1
−
b
p
+
1
p
+
1
)
.
{\displaystyle ={1 \over p+1}T\left(\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}b^{j}n^{p+1-j}\right)=T\left({(b+n)^{p+1}-b^{p+1} \over p+1}\right).}
يستخدم المصطلح «كثيرات حدود فاولابر» من قبل بعض المؤلفين للإشارة إلى شيء غير متسلسلة كثيرة الحدود المعطاة سابقا. لاحظ فاولابر أنه إذا كانت p فردية ، فإن
1
p
+
2
p
+
3
p
+
⋯
+
n
p
{\displaystyle 1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}\,}
هي دالة متعدد حدود في
a
=
1
+
2
+
3
+
⋯
+
n
.
{\displaystyle a=1+2+3+\cdots +n.\,}
وبشكل خاص
1
3
+
2
3
+
3
3
+
⋯
+
n
3
=
a
2
{\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=a^{2}\,}
1
5
+
2
5
+
3
5
+
⋯
+
n
5
=
4
a
3
−
a
2
3
{\displaystyle 1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={4a^{3}-a^{2} \over 3}}
1
7
+
2
7
+
3
7
+
⋯
+
n
7
=
12
a
4
−
8
a
3
+
2
a
2
6
{\displaystyle 1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots +n^{7}={12a^{4}-8a^{3}+2a^{2} \over 6}}
1
9
+
2
9
+
3
9
+
⋯
+
n
9
=
16
a
5
−
20
a
4
+
12
a
3
−
3
a
2
5
{\displaystyle 1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots +n^{9}={16a^{5}-20a^{4}+12a^{3}-3a^{2} \over 5}}
1
11
+
2
11
+
3
11
+
⋯
+
n
11
=
32
a
6
−
64
a
5
+
68
a
4
−
40
a
3
+
5
a
2
6
.
{\displaystyle 1^{11}+2^{11}+3^{11}+\cdots +n^{11}={32a^{6}-64a^{5}+68a^{4}-40a^{3}+5a^{2} \over 6}.}
أولى هذه المتطابقات ، للحالة p = 3, تعرف بنظرية ىيكوماتشو .
ويطلق بعض المؤلفين على كثيرات الحدود في الجانب الأيمن من هذه المطابقات اسم «كثيرات حدود فاولابر في a ». كثيرات الحدود على الشق الأيمن تقبل القسمة على a 2 لأنه في حالة كانت j > 1 فردية، يكون عدد برنولي،B j
[ عدل ] باستعمال
B
k
=
−
k
ζ
(
1
−
k
)
{\displaystyle B_{k}=-k\zeta (1-k)}
∑
k
=
1
n
k
p
=
n
p
+
1
p
+
1
−
∑
j
=
0
p
−
1
(
p
j
)
ζ
(
−
j
)
n
p
−
j
.
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}-\sum \limits _{j=0}^{p-1}{p \choose j}\zeta (-j)n^{p-j}.}
If we consider the generating function
G
(
z
,
n
)
{\displaystyle G(z,n)}
n
{\displaystyle n}
ℜ
(
z
)
<
0
{\displaystyle \Re (z)<0}
lim
n
→
∞
G
(
z
,
n
)
=
1
e
−
z
−
1
=
∑
j
=
0
∞
(
−
1
)
j
−
1
B
j
z
j
−
1
j
!
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }G(z,n)={\frac {1}{e^{-z}-1}}=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j-1}B_{j}{\frac {z^{j-1}}{j!}}}
Heuristically, this suggests that
∑
k
=
1
∞
k
p
=
(
−
1
)
p
B
p
+
1
p
+
1
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{p}={\frac {(-1)^{p}B_{p+1}}{p+1}}.}
هذه النتيجة لا تتعارض مع قيم دالة زيتا لريمان
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
s
=
−
p
<
0
{\displaystyle s=-p<0}
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
