انتقل إلى المحتوى

قائمة أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة

هذه قائمةٌ مختارةٌ، وتعد من أجود محتويات ويكيبيديا. انقر هنا للمزيد من المعلومات.
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
تصور العدد 6 بوصفه عدداً تاماً، عن طريق المقسومات الصحيحة للعدد 6 وهم (1، 2، 3) ومجموعها يصل إلى 6.
العدد 6 هو عدد تام.

أعداد مِرْسين الأولية[ع 1] (بالإنجليزية: Mersenne number)‏ والأعداد التامة[ع 2] (بالإنجليزية: Perfect Number)‏ هما نوعان من الأعداد الطبيعية مرتبطان أحدهما بالآخر، وهما موضوع دراسة في مجال نظريَّة الأعداد.[ا] أعداد مرسين الأولية، التي سُمِّيت باسم الراهب مارين مرسين، هي أعداد أولية يمكن كتابتها بالصيغة: 2p − 1، وفيها p هو عدد صحيح موجب.[ع 3] العدد 3 على سبيل المثال، هو من أعداد مرسين الأولية، لأنَّهُ عدد أولي يمكن كتابته بصيغة: 22 − 1.[1][وب-إنج 1][ع 4] أما الأعداد التامة، فهي أعداد صحيحة موجبة يساوي كل منها مجموع قواسمه الموجبة ما خلا العدد نفسه. العدد 6 على سبيل المثال، عددٌ تام لأنَّ قواسمه الموجبة هي 1 و2 و3، ومجموعها: 1 + 2 + 3 = 6.[وب-إنج 1][2][ع 5]

لكي يكون عدد مرسين أوليًا، يلزم أن يكون p في الصيغة: 2p − 1 أوليًا. لكن هذا لا يعني أن كل عدد أولي p سينتج عدد مرسين أولي. على سبيل المثال، من أجل p تساوي 11، وهو عدد أولي، يكون ناتج 211 − 1 = 2047، وهو ليس عددًا أوليًا، ولا من أعداد مرسين لأنَّهُ حاصل ضرب 23 × 89.[وب-إنج 2] بعبارةٍ أخرى، كُل عدد مرسين أولي هو عدد أولي، ولكن ليس كُل عدد أولي هو عدد مرسين أولي.

تربط دالة تقابل أعداد مرسين الأولية بالأعداد التامة. تُكتَب الأعداد التامة بالصيغة:

2p − 1 × (2p − 1)

وفيها p هو عدد أولي، و2p − 1 هو عدد مرسين أولي. لذا، يولِّد كلُّ عددٍ مكتشف من أعداد مرسين الأولية عددًا تامًا زوجيًا جديدًا مقابل له. مع ذلك، لا يزال من غير المعروف ما إذا كان يوجد أعداد تامة فرديَّة. ويعود ذلك التقابل إلى مبرهنة إقليدس وأويلر، التي وضع أساسها إقليدس وأكمل برهانها ليونهارت أويلر، وتنصُّ المبرهنة على أن العدد التام يكون زوجيًا، إذا وفقط إذا، أمكن التعبير عنه بالصيغة المذكورة سابقًا.[ع 6] بتعبيرٍ آخر، كلُّ عددٍ يمكن صياغته بهذه الطريقة هو عدد تام، وتتبع الأعداد التامة الزوجية كلها هذه الصيغة. على سبيل المثال، عندما تكون p = 2، فإنَّ الناتج من الصيغة 22 − 1 = 3 وهو عدد مرسين أولي، وعند ضربه في 22 − 1، يكون الناتج 2 × 3 = 6 هو عدد تام.[وب-إنج 3][ع 5]

مسألة وجود أعداد لا نهائيَّة من أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة الزوجيَّة من التحدِّيات التي لم تُحل بعد في علم الرياضيَّات.[وب-إنج 1] ويمكن تقريبًا تقدير عدد مرَّات تكرار أعداد مرسين الأولية باستعمال بعض حدسيات مرسين، وهي فرضيات رياضيَّة تتعلَّق بتوزيع وخصائص أعداد ميرسين، وتنصُّ إحدى هذه الحدسيات على أن العدد المتوقع من أعداد مرسين تحت قيمة معينة x يمكن تقديره بالصيغة:

(eγ / log 2) × log (log x)

وفيها e هو عدد أويلر، وγ هو ثابت أويلر، وlog هو اللوغارتم الطبيعي.[وب-إنج 4][3][4] بالرغم من عدم إثبات وجود أعداد تامة فرديَّة، فقد أثبتت عدَّة شروطٍ لوجودها، منها أنَّهُ إذا وُجد عدد تام فردي، فيجب أن يكون أكبر من 101500. هذه النتيجة تعني أن أي عدد تام فردي يجب أن يكون هائل الحجم، لكن حتَّى العام 2012، لم يُعثَر على أيِّ عددٍ تام فردي.[5]

قائمة الأعداد

[عدل]

يذكر الجدول قائمة أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة المعروفة حاليًا، مع توضيح الأسس p المقابلة لكل عدد. حتَّى عام 2024م، اُكتُشاف 52 عددًا أوليًا من أعداد مرسين (وبالتالي 52 عددًا تامًا)، واُكتُشاف أكبر 18 عددًا منها من خلال مشروع الحوسبة الموزعة المعروف باسم البحث الكبير عن أعداد مرسين على الإنترنت (بالإنجليزية: Great Internet Mersenne Prime Search)‏ اختصارًا (GIMPS).[وب-إنج 1][ع 5] تُكتشف أعداد مرسين الأولية الجديدة باختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما (بالإنجليزية: Lucas–Lehmer test)‏ اختصارًا (LLT)، وهو اختبار يستخدم لتحديد ما إذا كان عدد مرسين معيَّن أوليًا أم لا، ويتميَّز بالكفاءة عند استخدامه في الحواسيب التي تعتمد على نظام العد الثنائي.[وب-إنج 1]

يستند الترتيب الحالي لأعداد مرسين الأولية إلى المعلومات المتوفِّرة حتَّى عام 2022م، واحتمال اكتشاف أعداد أصغر من تلك المكتشفة حاليًا ضئيل، إلاَّ أنَّ حدوث ذلك قد يؤدِّي إلى تغيير ترتيب الأعداد المعروف. وفقًا لمشروع «البحث الكبير»، فحصت جميع أعداد ميرسين التي يقل الأس فيها عن p = 57,885,161 (وهو الأس المرتبط بالعدد 48 في الترتيب) حتى يناير 2024،[وب-إنج 5] ممَّا يجعل من غير المحتمل اكتشاف عدد جديد بأس أصغر من 57,885,161.

يُذكَر بالجدول اسم مكتشف العدد وتاريخ الاكتشاف لكل عدد مرسين، نظرًا لأنَّ الأعداد التامة الزوجيَّة تُولَّد مباشرة من أعداد مرسين بعد اكتشافها وفقًا لمبرهنة إقليدس وأويلر، فلا تُذكر معلومات منفصلة لمكتشف العدد التام. عندما يشار إلى المكتشف بالاسم الرمزي: «GIMPS / الاسم»، فهذا يعني أنَّ الاكتشاف حدث عبر مشروع «البحث الكبير»، باستخدام عتاد حاسوب مملوكة له. بالنسبة للأرقام الكبيرة جدًّا، يعرض أوَّل أرقامٍ منها فقط وآخر ستَّة.

جدول يحتوي على جميع أعداد مرسين الأولية المعروفة حاليًا والأعداد التامة المقابلة لها وعددهم 52
الترتيب p عدد مرسين
Mp 		العدد التام تاريخ الاكتشاف المكتشف طريقة الاكتشاف المراجع[وب-إنج 6][6]
القيمة عدد الأرقام القيمة عدد الأرقام
1 2 3 1 6 1 عصور قديمة[ب] معروف لدى علماء الرياضيات اليونانيِّين القدماء غير مسجَّلة

[وب-إنج 7][7]

2 3 7 1 28 2 [وب-إنج 7][7]
3 5 31 2 496 3 [وب-إنج 7][7]
4 7 127 3 8128 4 [وب-إنج 7][7]
5 13 8191 4 33550336 8 القرن الثالث عشر الميلادي / قرابة 1456م[ج] ابن فلُّوس / شخص مجهول[د] القسمة المتكررة [7]
6 17 131071 6 8589869056 10 1588م[ج] بييترو كاتالدي [وب-إنج 1]
7 19 524287 6 137438691328 12 [وب-إنج 1]
8 31 2147483647 10 952128...230584 19 1772م ليونهارت أويلر القسمة المتكررة مع قيود معيارية [وب-إنج 9][وب-فر 1]
9 61 693951...230584 19 842176...265845 37 نوفمبر 1883 إيفان ميخيفيتش بيرفوشين متتالية لوكاس [فر 1]
10 89 562111...618970 27 169216...191561 54 يونيو 1911 رالف إرنست باورز [8]
11 107 288127...162259 33 728128...131640 65 1 يونيو 1914 [9]
12 127 105727...170141 39 152128...144740 77 10 يناير 1876 إدوارد لوكا [10]
13 521 057151...686479 157 646976...235627 314 30 يناير 1952 رافائيل إم. روبنسون اختبار لوكاس ليهمر (LLT) على حاسوب (SWAC) [11]
14 607 728127...531137 183 328128...141053 366 [11]
15 1,279 729087...104079 386 291328...541625 770 25 يونيو 1952 [12]
16 2,203 771007...147597 664 782528...108925 1,327 7 أكتوبر 1952 [13]
17 2,281 836351...446087 687 915776...994970 1,373 9 أكتوبر 1952 [13]
18 3,217 315071...259117 969 525056...335708 1,937 8 سبتمبر 1957 هانز ريزل اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (BESK) [14]
19 4,253 484991...190797 1,281 377536...182017 2,561 3 نوفمبر 1961 ألكسندر هورويتز اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (IBM 7090) [15]
20 4,423 580607...285542 1,332 534528...407672 2,663 [15]
21 9,689 754111...478220 2,917 577216...114347 5,834 11 مايو 1963 دونالد بي. غيليز اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (ILLIAC II) [16]
22 9,941 463551...346088 2,993 496576...598885 5,985 16 مايو 1963 [16]
23 11,213 392191...281411 3,376 086336...395961 6,751 2 يونيو 1963 [16]
24 19,937 041471...431542 6,002 942656...931144 12,003 4 مارس 1971 بريانت توكيرمان اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (IBM 360/91) [17]
25 21,701 882751...448679 6,533 605376...100656 13,066 30 أكتوبر 1978 لاندون كيرت نول ولورا نيكل اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (CDC Cyber 174) [18]
26 23,209 264511...402874 6,987 666816...811537 13,973 9 فبراير 1979 لاندون كيرت نول [18]
27 44,497 228671...854509 13,395 827456...365093 26,790 8 أبريل 1979 هاري إل نيلسون وديفيد سلوينسكي اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (كراي-1) [19]
28 86,243 438207...536927 25,962 406528...144145 51,924 25 سبتمبر 1982 ديفيد سلوينسكي [20]
29 110,503 515007...521928 33,265 862528...136204 66,530 29 يناير 1988 والتر كولكيت ولوك ويلش اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (NEC SX-2) [21]
30 132,049 061311...512740 39,751 550016...131451 79,502 19 سبتمبر 1983 ديفيد سلوينسكي وآخرون. باستخدام أجهزة من شركة كراي اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray X-MP) [وب-إنج 10]
31 216,091 528447...746093 65,050 880128...278327 130,100 1 سبتمبر 1985 اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray X-MP/24) [22][وب-إنج 11]
32 756,839 677887...174135 227,832 731328...151616 455,663 17 فبراير 1992 اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray-2) الخاص بمختبر هارويل [23]
33 859,433 142591...129498 258,716 167936...838488 517,430 4 يناير 1994 اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray C90) [وب-إنج 12]
34 1,257,787 366527...412245 378,632 704128...849732 757,263 3 سبتمبر 1996 اختبار لوكاس ليهمر على حاسوب (Cray T94) [وب-إنج 13]
35 1,398,269 315711...814717 420,921 375616...331882 841,842 13 نوفمبر 1996 GIMPS / جويل ارمنغود اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 90 MHz [وب-إنج 14]
36 2,976,221 201151...623340 895,932 462976...194276 1,791,864 24 أغسطس 1997 GIMPS / جوردون سبنس اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 100 MHz [وب-إنج 15]
37 3,021,377 694271...127411 909,526 457856...811686 1,819,050 27 يناير 1998 GIMPS / رولاند كلاركسون اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بنتيوم 200 MHz [وب-إنج 16]
38 6,972,593 193791...437075 2,098,960 572736...955176 4,197,919 1 يونيو 1999 GIMPS / نيان هاجراتوالا اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب آي بي إم أبتيفيا بمعالج بنتيوم 2 350 MHz [وب-إنج 17]
39 13,466,917 259071...924947 4,053,946 021056...427764 8,107,892 14 نوفمبر 2001 GIMPS / مايكل كاميرون اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج Athlon T-Bird 800 MHz [وب-إنج 18]
40 20,996,011 682047...125976 6,320,430 896128...793508 12,640,858 17 نوفمبر 2003 GIMPS / مايكل شيفر اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب Dell Dimension بمعالج بنتيوم 4 2 GHz [وب-إنج 19]
41 24,036,583 969407...299410 7,235,733 950528...448233 14,471,465 15 مايو 2004 GIMPS / جوش فيندلي اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج بنتيوم 4 2.4 GHz [وب-إنج 20]
42 25,964,951 077247...122164 7,816,230 088128...746209 15,632,458 18 فبراير 2005 GIMPS / مارتن نواك [وب-إنج 21]
43 30,402,457 943871...315416 9,152,052 704256...497437 18,304,103 15 ديسمبر 2005 GIMPS / كيرتس كوبر وستيفن بون اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى [وب-إنج 22]
44 32,582,657 967871...124575 9,808,358 120256...775946 19,616,714 4 سبتمبر 2006 [وب-إنج 23]
45 37,156,667 220927...202254 11,185,272 480128...204534 22,370,543 6 سبتمبر 2008 GIMPS / هانز مايكل إلفينيتش اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب [وب-إنج 24]
46 42,643,801 314751...169873 12,837,064 253376...144285 25,674,127 4 يونيو 2009[ه] GIMPS / أود ماجنار ستريندمو اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور 2 3 GHz [وب-إنج 25]
47 43,112,609 152511...316470 12,978,189 378816...500767 25,956,377 23 أغسطس 2008 GIMPS / إدسون سميث اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب Dell OptiPlex بمعالج إنتل كور 2 ديو E6600 [وب-إنج 24][وب-إنج 26]
48 57,885,161 285951...581887 17,425,170 130176...169296 34,850,340 25 يناير 2013 GIMPS / كورتيس كوبر اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب في جامعة ميزوري الوسطى [وب-إنج 27]
* 70,578,077 أدنى نقطة لم يتحقَّق منها[و]
49[ز] 74,207,281 436351...300376 22,338,618 315776...451129 44,677,235 7 يناير 2016[ح] GIMPS / كورتيس كوبر اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i7-4790 [وب-إنج 28][وب-عر 1]
50[ز] 77,232,917 179071...467333 23,249,425 301056...109200 46,498,850 26 ديسمبر 2017 GIMPS / جوناثان بيس اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-6600 [وب-إنج 29]
51[ز] 82,589,933 902591...148894 24,862,048 207936...110847 49,724,095 7 ديسمبر 2018 GIMPS / باتريك لاروش اختبار لوكاس ليهمر / برنامج Prime95 على حاسوب بمعالج إنتل كور i5-4590T [وب-إنج 30][وب-إنج 31][وب-عر 2]
* 124,817,431 أدنى نقطة لم تُختبَر[و]
52[ز] 136,279,841 871551...881694 41,024,320 008576...388692 82,048,640 12 أكتوبر 2024 GIMPS / لوك ديورانت اختبار لوكاس ليهمر / برنامج PRPLL على حاسوب بمعالج رسومي Nvidia H100[ط] [وب-إنج 32][وب-عر 3]

انظر أيضًا

[عدل]

الملاحظات

[عدل]
  1. ^ فرع من الرياضيَّات يهتم بدراسة خصائص الأعداد.
  2. ^ أَتَى توثيق أوَّل أربعة أعداد تامة من قبل «نيقوماخس الجرشي» قرابة عام 100م، وكان المفهوم معروفًا لدى إقليدس في زمن كتابه «الأصول»، بما في ذلك أعداد مرسين الأولية. ومع ذلك، لا توجد سجلات تشير إلى متى جرى اكتشاف هذه الأعداد لأوَّل مرَّة.
  3. ^ ا ب قد يكون علماء الرياضيات في عصر الحضارة الإسلامية، مثل إسماعيل بن فلُّوس (1194 - 1239م)، قد عرفوا الأعداد التامة من الخامس إلى السابع قبل أن تُسجَّل في المصادر الأوروبِّية.[وب-إنج 8]
  4. ^ وجدت معلومات في مخطوطة مجهولة الهوية تحمل الرقم «Clm 14908»، والتي تعود إلى الفترة بين عامي 1456 و1461م، وكذلك في عمل ابن فلُّوس السابق، الذي لم يوزع على نطاق واسع.
  5. ^ M42,643,801 أُبلغ عنه للمرَّة الأولى بمشروع GIMPS في 12 أبريل 2009، ولكن لم يلاحظه أحد حتَّى 4 يونيو 2009 بسبب خطأ في الخادم.
  6. ^ ا ب اعتبارًا من 25 أكتوبر 2024 (2024-10-25).[وب-إنج 5]
  7. ^ ا ب ج د لم يحدث تحقق بعد يوكِّد وجود أعداد مرسين أولية غير مكتشفة تقع بين العدد ال 48 (M57,885,161) والعدد ال 52 (M136,279,841) في هذا الجدول، لذا فإنّ الترتيب الحالي مؤقت.
  8. ^ M74,207,281 أُبلغ عنه للمرَّة الأولى بمشروع GIMPS في 17 سبتمبر 2015، ولكن لم يلاحظه أحد حتَّى 7 يناير 2016 بسبب خطأ في الخادم.
  9. ^ اُكتُشاف لأوَّل مرَّة كعدد أولي محتمل باستخدام اختبار فيرما على وحدة معالجة الرسوميات Nvidia A100 في 11 أكتوبر 2024.

المراجع

[عدل]

فهرس المراجع

[عدل]
منشورات
بالعربية
  1. ^ مجمع دمشق (2018)، ص. 442.
  2. ^ مجمع دمشق (2018)، ص. 520.
  3. ^ سترويك (2018)، ص. 122.
  4. ^ هيجنز (2009)، ص. 93-96.
  5. ^ ا ب ج هيجنز (2017)، ص. 33-35.
  6. ^ إلويس (2018)، ص. 49.
بالإنجليزية
  1. ^ Stillwell (2010), p. 40.
  2. ^ Prielipp (1970), p. 692–696.
  3. ^ Wagstaff (1983), p. 385-397.
  4. ^ Pomerance (1981), p. 97–105.
  5. ^ Ochem (2012), p. 1869–1877.
  6. ^ Tattersall (1999), p. 131–134.
  7. ^ ا ب ج د ه Smith (1925), p. 21.
  8. ^ Powers (1911), p. 195-197.
  9. ^ Love (1914), p. iv-xl.
  10. ^ Lucas (1876), p. 165–167.
  11. ^ ا ب Mathematics of Computation (1952a), p. 58.
  12. ^ Mathematics of Computation (1952b), p. 204–205.
  13. ^ ا ب Mathematics of Computation (1953), p. 67–72.
  14. ^ Riesel (1958), p. 60.
  15. ^ ا ب Hurwitz (1962), p. 249–251.
  16. ^ ا ب ج Gillies (1964), p. 93–97.
  17. ^ Tuckerman (1971), p. 2319–2320.
  18. ^ ا ب Noll (1980), p. 1387.
  19. ^ Slowinski (1982), p. 15-17.
  20. ^ Mathematical Intelligencer (1983), p. 47.
  21. ^ [a] Peterson (1988), p. 85.
    [b] Colquitt (1991), p. 867.
  22. ^ Peterson (1985), p. 199.
  23. ^ Maddox (1992), p. 283.
بالفرنسية
  1. ^ Académie impériale (1887), p. 532–533.
الوب
بالعربية
  1. ^ "اكتشاف أكبر عددٍ أوّلي حتى الآن من 22 مليون رقم". ناسا بالعربي. 29 يناير 2016. مؤرشف من الأصل في 2024-08-24. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
  2. ^ راغب بكريش (28 سبتمبر 2018). "اكتشاف أكبر عدد أوّلي يتكوّن من 25 مليون خانة مع حفنة من الميزات النادرة: فريق تطوعي يكتشف عددًا أوليًا جديدًا بميزات نادرة". المحطة. مؤرشف من الأصل في 2024-08-23. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-23.
  3. ^ أمنية سعيد (23 أكتوبر 2024). "اكتشاف عدد أولي جديد يتكون من 41 مليون رقم.. «حطم الأرقام القياسية»". الوطن. مؤرشف من الأصل في 2024-11-15. اطلع عليه بتاريخ 2024-10-24.
بالإنجليزية
  1. ^ ا ب ج د ه و ز Chris K. Caldwell. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-03-11. Retrieved 2024-08-19.
  2. ^ Chris K. Caldwell. "If 2n-1 is prime, then so is n". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-07-30. Retrieved 2024-08-19.
  3. ^ Chris K. Caldwell. "Characterizing all even perfect numbers". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-02-18. Retrieved 2024-08-19.
  4. ^ Chris K. Caldwell. "Heuristics Model for the Distribution of Mersennes". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-08-20. Retrieved 2024-08-19.
  5. ^ ا ب "GIMPS Milestones Report". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-03-08. Retrieved 2024-08-19.
  6. ^ [a] "List of Known Mersenne Prime Numbers". .Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-03-11. Retrieved 2024-08-20.
    [b] Chris K. Caldwell. "Mersenne Primes: History, Theorems and Lists". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-06-29. Retrieved 2024-08-20.
    [c] Chris K. Caldwell. "The Largest Known prime by Year: A Brief History". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-04-29. Retrieved 2024-08-20.
    [d] Landon Curt Noll. "Known Mersenne Primes" (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-06-29. Retrieved 2024-08-20.
  7. ^ ا ب ج د David E. Joyce. "Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36". mathcs.clarku.edu (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-04-05. Retrieved 2024-08-20.
  8. ^ John J. O'Connor; Edmund F. Robertson. "Perfect numbers". School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews (بالإنجليزية). Archived from the original on 2021-11-16. Retrieved 2024-08-20.
  9. ^ Chris K. Caldwell. "Modular restrictions on Mersenne divisors". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2023-02-18. Retrieved 2024-08-20.
  10. ^ "Number is largest prime found yet". The Globe and Mail (بالإنجليزية). 24 Sep 1983. Archived from the original on 2024-08-22. Retrieved 2024-08-21.
  11. ^ Lee Dembart (17 Sep 1985). "Supercomputer Comes Up With Whopping Prime Number". Los Angeles Times (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-25. Retrieved 2024-08-21.
  12. ^ "Largest Known Prime Number Discovered on Cray Research Supercomputer". PR Newswire (بالإنجليزية). 10 Jan 1994. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-21.
  13. ^ [a] Chris K. Caldwell. "A Prime of Record Size! 21257787-1". PrimePages (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-22. Retrieved 2024-08-21.
    [b] Dan Gillmor (3 Sep 1996). "Crunching numbers: Researchers come up with prime math discovery". Gale Academic OneFile (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-23.
  14. ^ "GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime, 21,398,269-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 12 Nov 1996. Archived from the original on 2024-08-25. Retrieved 2024-08-22.
  15. ^ "GIMPS Discovers 36th Mersenne Prime, 22,976,221-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 1 Sep 1997. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-22.
  16. ^ "GIMPS Discovers 37th Mersenne Prime, 23,021,377-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 2 Feb 1998. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-22.
  17. ^ "GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 26,972,593-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 30 Jun 1999. Archived from the original on 2024-08-27. Retrieved 2024-08-22.
  18. ^ "GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 213,466,917-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 6 Dec 2001. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-22.
  19. ^ "GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 2 Feb 2003. Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-22.
  20. ^ "GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 28 May 2004. Archived from the original on 2024-08-24. Retrieved 2024-08-22.
  21. ^ "GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 27 Feb 2005. Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-22.
  22. ^ "GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 24 Dec 2005. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-22.
  23. ^ "GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 232,582,657-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 11 Sep 2006. Archived from the original on 2024-08-27. Retrieved 2024-08-22.
  24. ^ ا ب "GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 15 Sep 2008. Archived from the original on 2024-08-23. Retrieved 2024-08-22.
  25. ^ "GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime". Mersenne Research, Inc. 12 أبريل 2009. مؤرشف من الأصل في 2024-08-26. اطلع عليه بتاريخ 2024-08-22.
  26. ^ [a] Thomas H. Maugh II (27 Sep 2008). "Rare prime number found". Los Angeles Times (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-22.
    [b] Edson Smith. "The UCLA Mersenne Prime". UCLA Mathematics (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-25. Retrieved 2024-08-22.
  27. ^ [a] "GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime". Mersenne Research, Inc. (بالإنجليزية). 5 Feb 2013. Archived from the original on 2024-08-24. Retrieved 2024-08-22.
    [b] Bob Yirka (6 Feb 2013). "University professor discovers largest prime number to date". Phys.org (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-22.
  28. ^ [a] "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 19 Jan 2016. Archived from the original on 2024-08-25. Retrieved 2024-08-23.
    [b] "Largest known prime number discovered in Missouri". BBC news (بالإنجليزية). 20 Jan 2016. Archived from the original on 2024-08-27. Retrieved 2024-08-23.
  29. ^ [a] "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 3 Jan 2018. Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-23.
    [b] Evelyn Lamb (4 Jan 2018). "Why You Should Care About a Prime Number That's 23,249,425 Digits Long". Slate (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-23.
  30. ^ "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). 21 Dec 2018. Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-23.
  31. ^ Joe Palca (21 Dec 2018). "The World Has A New Largest-Known Prime Number". National Public Radio (NPR) (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-08-26. Retrieved 2024-08-23.
  32. ^ "Mersenne Prime Number discovery - 2136279841-1 is Prime!". Mersenne Research, Inc (بالإنجليزية). Archived from the original on 2024-12-05. Retrieved 2024-10-24.
بالفرنسية
  1. ^ Leonhard Euler (1772). "Extrait d'un lettre de M. Euler le pere à M. Bernoulli concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771, p 318". Scholarly Commons (بالفرنسية). Archived from the original on 2024-07-26. Retrieved 2024-08-20.

معلومات المراجع

[عدل]
المقالات المحكمة
بالإنجليزية
بالفرنسية
الكتب
بالعربية
بالإنجليزية

وصلات خارجية

[عدل]
مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=قائمة_أعداد_مرسين_الأولية_والأعداد_التامة&oldid=69018701»