في الرياضيات، التفكيك الكسري الجزئي (بالإنجليزية: partial fraction decomposition) أو الكسور الجزئية هي طريقة تسمح بإعادة كتابة دالة كسرية[1] على الشكل:
إلى شكل
حيث
و
متعددتا حدود و
معاملات يتم تحديدها. وتختلف طريقة الحل بناء على درجة دالتي البسط والمقام.
درجة البسط أقل من درجة المقام[عدل]
مثال لهذه الحالة:
نقوم بتحليل المقام إلى دوال بسيطة، ونفرض دوال للبسط بحيث يكون درجة دالة البسط أقل من درجة المقام ويكون الحل هكذا:
ثم نقوم بتوحيد المقام، وبما أن المقامين متساويان فإن البسطين يكونان متساويان:
ونضع قيم مختلفة للمتغير x ونحل المعادلة ونستخرج قيم A,B,C.
درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها[عدل]
ومثال لهذه الحالة:
نقوم باستخدام القسمة المطولة
وهكذا تكون في النهاية
ثم نساوي
ونضع قيما مختلفة للمتغير x و نحسب قيم A,C .
تطبيق الكسور الجزئية في التكامل[عدل]
لتطبيق الكسور الجزئية في حساب التكامل الرمزي، من خلال:
,![{\displaystyle P(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89833156eff2c51bfb8750db3306a0544ce34e14)
![{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1837278b093c837da2843f5d1cca64764ea87c)
مثال على ذلك:
![{\displaystyle \int {\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab6508e87c86a4b05af53e3944f5c5cd5667ce1)
![{\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b0004f8d3f5f690cccb42f959ff47a29c309a7)
![{\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\,dx=\int x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5334f0073e5ee1579142d5d53e853f3b59686c22)
.
![{\displaystyle A={\frac {-13}{3}}\ ,B={\frac {4}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b64201f348df7aa3c67d242136fa1678e02c44)
![{\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ln(|x-1|)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc418fad551389b0c035f47b62ceaf531681e27)
المراجع[عدل]