في الهندسة الرياضية، تقوم معادلة براهماغوبتا بإيجاد مساحة أي رباعي أضلاع بواسطة طول أضلاعه وقياس بعض زواياه.[1]
بشكلها الأكثر شيوعاً تقوم المعادلة بحساب معادلة رباعي الأضلاع المحصور ضمن دائرة (رباعي دائري).
الصيغة البسيطة[عدل]
أبسط صيغة لصيغة براهماغوبتا هي الصيغة التي تعطى في الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعهa, b, c, d على الشكل التالي:
![{\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bb6f53fd4ca88e345a311cabd057a894800c08)
حيث s تعطى بالعلاقة:
وهي تعميم لمعادلة هيرون لحساب مساحة المثلث.
البرهان[عدل]
لتكن
هي مساحة الرباعي جانبه.
هي مجموع مساحتي المثلثين
و
إذن
بما أن
رباعي دائري فإن ∠DAB = 180° − ∠DCB و منه فإن sin A = sin C، و منه:
.
إذن
بتطبيق قانون جيب التمام نستنتج أن:
نعوض cos C = −cos A، لدينا
نعوض في متساوية المساحة،
![{\displaystyle =(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f819e0bda678b636780acc7b11ab10a30c070386)
![{\displaystyle =((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173984962c389a03e07e1cd24e0300e4ad6ca0c6)
![{\displaystyle =(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0909fc62c623505386ed790fc52e9e71f5b7c0ea)
نأخذ
، فنجد
انظر أيضاً[عدل]
مراجع[عدل]
وصلات خارجية[عدل]
إيريك ويستاين، معادلة براهماغوبا، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).