الوصفPrograde and retrograde circular orbital velocity.gif	Deutsch: Prograde und retrograde äquatoriale Kreisbahngeschwindigkeit um ein rotierendes schwarzes Loch. a ist der Spinparameter in Einheiten von J·c/G/M² mit J als dem Drehimpuls des schwarzen Lochs. Die x-Achse ist der Boyer-Lindquist-Radius r, und die y-Achse die lokale 3er-Geschwindigkeit v. Die linke vertikale Hilfslinie bezeichnet den Ereignishorizont (rH) bei r=(1+√(1-a²))GM/c², und die beiden an die Funktionskurven anschließenden vertikalen Hilfslinien die Radien für den pro- (r+) und retrograden (r-) Photonenkreis auf r±=2(1+cos(2arccos(±a))/3)GM/c². Weiterführende Erklärung: Herleitung / Details English: Prograde and retrograde equatorial circular orbit velocity around a rotating black hole. a is the spin parameter in units of J·c/G/M² where J ist the angular momentum of the black hole. The x-axis is the Boyer-Lindquist-Radius r, and the y-axis the local 3-velocity v. The left vertical gridline depicts the event horizon (rH) at r=(1+√(1-a²))GM/c², and the two vertical gridlines connecting to the function curves are the pro- (r+) and retrograde (r-) photon-orbits at r±=2(1+cos(2arccos(±a))/3)GM/c². Further reading: derivation / details
التاريخ	١٩ يوليو ٢٠١٧
المصدر	عمل شخصي
المؤلف	Yukterez (Simon Tyran, Vienna)
إصدارات أخرى

The pro- and retrograde circular orbital velocity is derived by setting

${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{r}=v_{r}=v_{\theta }=0\ ,\ \ \theta =\pi /2\ ,\ \ v=v_{\phi }}}}$

and solving for ${\displaystyle v_{\phi }}$. This gives the solution

${\displaystyle {\rm {v_{+}^{\circ }={\frac {a^{2}-2a{\sqrt {r}}+r^{2}}{{\sqrt {a^{2}+(r-2)r}}\left(a+r^{3/2}\right)}}}}}$

for the prograde and

${\displaystyle {\rm {v_{-}^{\circ }={\frac {a^{2}+2a{\sqrt {r}}+r^{2}}{{\sqrt {a^{2}+(r-2)r}}\left(a-r^{3/2}\right)}}}}}$

for the retrograde velocity.^[1] For photons with ${\displaystyle v=1,\ \mu =0}$ one gets

${\displaystyle {\rm {r_{+}^{\circ }=2\left(\cos \left({\frac {2}{3}}\cos ^{-1}(-a)\right)+1\right)}}}$

for the prograde photon orbit radius (in Boyer-Lindquist-coordinates), and

${\displaystyle {\rm {r_{-}^{\circ }=2\left(\cos \left({\frac {2}{3}}\cos ^{-1}(+a)\right)+1\right)}}}$

for the retrograde one.^[2] In the Schwarzschild-limit with ${\displaystyle a=0}$ both radii converge to ${\displaystyle {\rm {r^{\circ }=3}}}$.

Units: ${\displaystyle {\rm {G=M=c=1}}}$

Die pro- und retrograde Kreisbahngeschwindigkeit ergibt sich indem ${\displaystyle {\rm {{\dot {p}}_{r}=v_{r}=v_{\theta }=0\ ,\ \ \theta =\pi /2\ ,\ \ v=v_{\phi }}}}$

gesetzt und nach ${\displaystyle v_{\phi }}$ aufgelöst wird. Damit ergibt sich als Lösung

${\displaystyle {\rm {v_{+}^{\circ }={\frac {a^{2}-2a{\sqrt {r}}+r^{2}}{{\sqrt {a^{2}+(r-2)r}}\left(a+r^{3/2}\right)}}}}}$

für die prograde und

${\displaystyle {\rm {v_{-}^{\circ }={\frac {a^{2}+2a{\sqrt {r}}+r^{2}}{{\sqrt {a^{2}+(r-2)r}}\left(a-r^{3/2}\right)}}}}}$

für die retrograde Kreisbahngeschwindigkeit.^[1] Für Photonen mit ${\displaystyle v=1,\ \mu =0}$ ergibt sich daher

${\displaystyle {\rm {r_{+}^{\circ }=2\left(\cos \left({\frac {2}{3}}\cos ^{-1}(-a)\right)+1\right)}}}$

für den prograden Photonenkreisradius (in Boyer-Lindquist-Koordinaten), und

${\displaystyle {\rm {r_{-}^{\circ }=2\left(\cos \left({\frac {2}{3}}\cos ^{-1}(+a)\right)+1\right)}}}$

für den retrograden.^[2] Im Schwarzschild-Limit mit ${\displaystyle a=0}$ fallen beide Radien auf ${\displaystyle {\rm {r^{\circ }=3}}}$.

Einheitssystem: ${\displaystyle {\rm {G=M=c=1}}}$

(* Syntax: Mathematica *)
ClearAll["Global`*"]
vretro[a_,r_]:=(a^2+2 a Sqrt[r]+r^2)/(Sqrt[a^2+(-2+r) r] (a-r^(3/2))); 
vprogr[a_,r_]:=(a^2-2 a Sqrt[r]+r^2)/(Sqrt[a^2+(-2+r) r] (a+r^(3/2)));
rh = 1 + Sqrt[1 - a^2];
r1 = 2 (1 + Cos[2/3 ArcCos[-a]]);
r2 = 2 (1 + Cos[2/3 ArcCos[+a]]);
Do[Print[Rasterize[Grid[{{Show[
Plot[{vprogr[a, r], vretro[a, r]}, {r, 1, 10},
PlotRange->{{1, 10}, {-1, 1}},
GridLines->{{rh, r1, r2}, {}},
Frame->True, ImageSize->500, 
PlotStyle -> {{Blue, Thick}, {Magenta, Thick}}],
Graphics[{LightGray, Rectangle[{1, -1}, {rh, 1}]}]]}, 
{"a"->a}, {"rH"->rh}, {"r+"->r1}, {"r-"->r2}}, 
Alignment -> Left]]], 
{a, 0.0, 1.0, 0.1}]
(* kerr.yukterez.net *)

أنا، صاحب حقوق التأليف والنشر لهذا العمل، أنشر هذا العمل تحت الرخصة التالية:

هذا الملفُّ مُرخَّصٌ برخصة المشاع الإبداعي الدَّوليَّة المُلزِمة بنسب العمل إلى مُؤَلِّفه وبترخيص المُشتقَّات بالمثل 4.0.

يحقُّ لك:

• مشاركة العمل – نسخ العمل وتوزيعه وبثُّه
• إعادة إنتاج العمل – تعديل العمل

حسب الشروط التالية:

• نسب العمل إلى مُؤَلِّفه – يلزم نسب العمل إلى مُؤَلِّفه بشكل مناسب وتوفير رابط للرخصة وتحديد ما إذا أجريت تغييرات. بالإمكان القيام بذلك بأية طريقة معقولة، ولكن ليس بأية طريقة تشير إلى أن المرخِّص يوافقك على الاستعمال.
• الإلزام بترخيص المُشتقات بالمثل – إذا أعدت إنتاج المواد أو غيرت فيها، فيلزم أن تنشر مساهماتك المُشتقَّة عن الأصل تحت ترخيص الأصل نفسه أو تحت ترخيص مُتوافِقٍ معه.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

1. ↑ ^{a b} Simon Tyran: Kreisbahnen in der Kerr-Raumzeit
2. ↑ ^{a b} Edward Teo: Spherical Photon Orbits Around A Kerr Black Hole

de.wikipedia.org/wiki/Kerr-Metrik