نظرية أس عطية-سينجر

في علم الهندسة التفاضلية، هناك نظرية أس عطية-سينجر, والذي أثبته، وتنص على أن لكل مؤثر إهليلجي تفاضلي على متعدد شعب متراص، فإن الأس التحليلي (المرتبط بالبعد في فضاء الحلول) يساوي الأس الطوبولوجي (كما عُرِّف في بعض بيانات الطوبولوجيا). وتضُم هذه النظرية نظريات أخرى عديدة، مثل نظرية ريمان-روك، مثل بعض القضايا الخاصة، ولها عدة تطبيقات في الفيزياء النظرية.

معلومات تاريخية

طُرِحت مشكلة الأس في المؤثرات التفاضلية الإهليجية من قبل العَالِم . فقد لاحظ ثباتًا شاذًا في الأس، وطالب بابتكار صيغة لها عن طريق الكمية الثابتة الطوبولوجية. ومن بين الأمثلة المُحفِّزة نظرية ريمان-روك وقانونه العام نظرية هيرزبروك-ريمان-روك، وأيضًا نظرية هيرتسبروخ (Hirzebruch signature theorem). نجح هيرتسبروخ وبوريل في إثبات صحة وتكامل عنصر Â في شعب دروري متعددة، واقترح عطية بأن هذا التكامل من الممكن تفسيره إذا كان أس مؤثر ديراك (الذي أُعيد اكتشافه من قبل عطية وسينجر عام 1961).

وتم الإعلان رسميًا عن نظرية عطية-سينجر من قِبَل عطية وسينجر عام 1963. وهما لم يقوما بنشر البراهين في إعلانهما، على الرغم من وجودها في كتاب بعنوان (Palais 1965). أول برهان نُشر (Atiyah & Singer 1968a) استبدَّل نظرية cobordism على أول برهان بنظرية K-theory، وقاموا باستخدامه لتقديم براهين على قوانين عامة مُتعدِّدة على المستندات.

• 1965: إس بي نوفيكوف (Novikov 1965) قام بنشر نتائجه عن الثوابت الطوبولوجية لفئات (Pontrjagin) الجذرية على تعدد الشعب المُستقرة.
• ونتائج كيربي وسيبينمان (Kirby & Siebenmann 1969)، مع حُجة العالِم رينيه ثوم (Thom 1956) (René Thom) تُثبِت وجود فئات (Pontryagin) الجذرية على تعدد الشعب الطوبولوجية. وتُعد فئات (Pontrjagin) الجذرية عناصر ضرورية لنظرية الأس على تعدد الشعب المُستقرة والطوبولوجية.
• 1969: عرَّف عطية (Atiyah 1970) المؤثرات الإهليليجية المُجردة على الفضاء المتري الكيفي. أصبحت المؤثرات الإهليليجية المُجردة العناصر الأساسية في نظرية كاسباروف(Kasparov) والهندسة التفاضلية اللاتبديليَّة التي وضعها العالِم كونيس(Connes).
• 1971: إي إم سينجر (Singer 1971) اقترح منهجًا شاملاً للتوسيعات المستقبلية لنظرية الأس.
• 1972: قام جي جي كاسباروف (Kasparov 1972) بنشر أعماله بخصوص تحقيق تناظُر K عن طريق المؤثرات الإهليليجية المُجردة.
• قدَّم برهانًا جديدًا لنظرية الأس باستخدام معادلة الحرارة، الذي ذُكِرت في (Melrose 1993).
• 1977: الدكتور سوليفان (Sullivan 1979) قام ببناء نظريته عن وجود وتفرُّد العالِم ليبشيتز(Lipschitz) والبِنيات التي تكاد تكون مطابقة على تعدُّد الشعب الطوبولوجية للبُعد المختلف عن البُعد الرابع.
• Getzler (1983) بعدما شجَّعته أفكار وألفاريز جوم، قدَّم برهانًا مختصرًا عن نظرية الأس الموضعية للمؤثرات التي تُعتبر داخليًا مؤثرات ديراك؛ وهذا يعالج الكثير من القضايا المُفيدة.
• 1983: إن تيليمان (Teleman 1983) أثبت أن الأسس التحليلية لمؤثرات التوقيع التي تحتوي على القِيم في الحزم الشعاعية هي الثوابت الطوبولوجية.
• 1984: قام إن تيليمان (Teleman 1984) بتكوين نظرية الأس مُستنِدًا على تعدد الشعب الطوبولوجية.
• 1986: إيه كونيس (Connes 1986) قام بنشر حُجَّته الجوهرية عن الهندسة اللاتبديلية.
• 1989: قام كلٌ من إس كي دونالدسن والدكتور سوليفان (Donaldson & Sullivan 1989) بدراسة نظرية يانغ ميلس عن تعدد الشعب الشبه مطابقة للبُعد الرابع. كما قدَّما مؤثر التوقيع S المُحدَّد على أساس الصِيغ التفاضلية من الدرجة الثانية.
• 1990: أثبت كلٌ من إيه كونيس وإتش موسكوفيتشي (Connes & Moscovici 1990) الأس الداخلي في سياق الهندسة اللاتبديلية.
• 1994: برهن إيه كونيس، الدكتور سوليفان وإن تيليمان (Connes, Sullivan & Teleman 1994) على نظرية الأس لمؤثرات التوقيع على تعدد الشعب الشبه مطابقة.

المراجع

The papers by Atiyah are reprinted in volumes 3 and 4 of his collected works,

• Atiyah، M. F. (1970)، "Global Theory of Elliptic Operators"، Proc. Int. Conf. on Functional Analysis and Related Topics (Tokyo, 1969)، University of Tokio، Zbl:0193.43601
• Atiyah، M. F. (1976)، "Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras"، Colloque "Analyse et Topologie" en l'Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974)، Asterisque، Soc. Math. France, Paris، ج. 32–33، ص. 43–72، MR:0420729
• Atiyah، M. F.؛ Segal، G. B. (1968)، "The Index of Elliptic Operators: II"، The Annals of Mathematics 2nd Ser.، The Annals of Mathematics, Vol. 87, No. 3، ج. 87، ص. 531–545، DOI:10.2307/1970716، JSTOR:1970716 This reformulates the result as a sort of Lefschetz fixed point theorem, using equivariant K theory.
• Atiyah، Michael F.؛ Singer، Isadore M. (1963)، "The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds"، Bull. Amer. Math. Soc.، ج. 69، ص. 322–433، DOI:10.1090/S0002-9904-1963-10957-X An announcement of the index theorem.
• Atiyah، Michael F.؛ Singer، Isadore M. (1968a)، "The Index of Elliptic Operators I"، Ann. Math.، The Annals of Mathematics, Vol. 87, No. 3، ج. 87، ص. 484–530، DOI:10.2307/1970715، JSTOR:1970715 This gives a proof using K theory instead of cohomology.
• Atiyah، Michael F.؛ Singer، Isadore M. (1968b)، "The Index of Elliptic Operators III"، Annals of Mathematics. Second Series، ج. 87، ص. 546–604، DOI:10.2307/1970717، JSTOR:1970717 This paper shows how to convert from the K-theory version to a version using cohomology.
• Atiyah، Michael F.؛ Singer، Isadore M. (1971)، "The Index of Elliptic Operators IV"، Annals of Mathematics. Second Series، The Annals of Mathematics, Vol. 93, No. 1، ج. 93، ص. 119–138، DOI:10.2307/1970756، JSTOR:1970756 This paper studies families of elliptic operators, where the index is now an element of the K-theory of the space parametrizing the family.
• Atiyah، Michael F.؛ Singer، Isadore M. (1971)، "The Index of Elliptic Operators V"، Annals of Mathematics. Second Series، The Annals of Mathematics, Vol. 93, No. 1، ج. 93، ص. 139–149، DOI:10.2307/1970757، JSTOR:1970757. This studies families of real (rather than complex) elliptic operators, when one can sometimes squeeze out a little extra information.
• Atiyah، M. F.؛ Bott، R. (1966)، "A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators"، Bull. Am. Math. Soc.، ج. 72، ص. 245–50، DOI:10.1090/S0002-9904-1966-11483-0. This states a theorem calculating the Lefschetz number of an endomorphism of an elliptic complex.
• Atiyah، M. F.؛ Bott، R. (1967)، "A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: I"، The Annals of Mathematics 2nd Ser.، The Annals of Mathematics, Vol. 86, No. 2، ج. 86، ص. 374–407، DOI:10.2307/1970694، JSTOR:1970694 and Atiyah، M. F.؛ Bott، R. (1968)، "A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications"، Annals of Mathematics. Second Series، The Annals of Mathematics, Vol. 88, No. 3، ج. 88، ص. 451–491، DOI:10.2307/1970721، JSTOR:1970721 These give the proofs and some applications of the results announced in the previous paper.
• Atiyah، M.؛ Bott، R.؛ Patodi، V. K. (1973)، "On the heat equation and the index theorem"، Invent. Math.، ج. 19، ص. 279–330، Bibcode:1973InMat..19..279A، DOI:10.1007/BF01425417، MR:0650828. "Errata"، Invent. Math.، ج. 28، ص. 277–280، 1975، Bibcode:1975InMat..28..277A، DOI:10.1007/BF01425562، MR:0650829
• Atiyah، Michael؛ Schmid، Wilfried (1977)، "A geometric construction of the discrete series for semisimple Lie groups"، Invent. Math.، ج. 42، ص. 1–62، Bibcode:1977InMat..42....1A، DOI:10.1007/BF01389783، MR:0463358, Atiyah, Michael؛ Schmid، Wilfried (1979)، "Erratum:"، Invent. Math.، ج. 54، ص. 189–192، Bibcode:1979InMat..54..189A، DOI:10.1007/BF01408936، MR:0550183
• Atiyah، Michael (1988a)، Collected works. Vol. 3. Index theory: 1، Oxford Science Publications، New York: The Clarendon Press, Oxford University Press، ISBN:0-19-853277-6، MR:0951894
• Atiyah، Michael (1988b)، Collected works. Vol. 4. Index theory: 2، Oxford Science Publications، New York: The Clarendon Press, Oxford University Press، ISBN:0-19-853278-4، MR:0951895
• Baum، P.؛ Fulton، W.؛ Macpherson، R. (1979)، "Riemann-Roch for singular varieties"، Acta Mathematica، ج. 143، ص. 155–191، DOI:10.1007/BF02684299، Zbl:0332.14003
• Berline، Nicole؛ Getzler، Ezra؛ Vergne، Michèle (2004)، Heat Kernels and Dirac Operators، Berlin: Springer، ISBN:3-540-20062-2 This gives an elementary proof of the index theorem for the Dirac operator, using the heat equation and supersymmetry.
• Bismut، Jean-Michel (1984)، "The Atiyah–Singer Theorems: A Probabilistic Approach. I. The index theorem" (PDF)، J. Funct. Analysis، ج. 57، ص. 56–99، DOI:10.1016/0022-1236(84)90101-0 Bismut proves the theorem for elliptic complexes using probabilistic methods, rather than heat equation methods.
• Connes، A. (1986)، "Non-commutative differential geometry"، Publications Mathematiques، Paris، ج. 62، ص. 257–360، DOI:10.1007/BF02698807، Zbl:0592.46056
• Connes، A. (1994)، Noncommutative Geometry، San Diego: Academic Press، ISBN:978-0-12-185860-5، Zbl:0818.46076
• Connes، A.؛ Moscovici، H. (1990)، "Cyclic cohomology, the Novikov conjecture and hyperbolic groups" (PDF)، Topology، ج. 29، ص. 345–388، DOI:10.1016/0040-9383(90)90003-3، Zbl:0759.58047
• Connes، A.؛ Sullivan، D.؛ Teleman، N. (1994)، "Quasiconformal mappings, operators on Hilbert space and local formulae for characteristic classes"، Topology، ج. 33، ص. 663–681، DOI:10.1016/0040-9383(94)90003-5، Zbl:0840.57013
• Donaldson، S.K.؛ Sullivan، D. (1989)، "Quasiconformal 4-manifolds"، Acta Mathematica، ج. 163، ص. 181–252، DOI:10.1007/BF02392736، Zbl:0704.57008
• Gel'fand، I. M. (1960)، "On elliptic equations"، Russ. Math.Surv.، ج. 15، ص. 113–123، Bibcode:1960RuMaS..15..113G، DOI:10.1070/rm1960v015n03ABEH004094 reprinted in volume 1 of his collected works, p. 65–75, ISBN 0-387-13619-3. On page 120 Gel'fand suggests that the index of an elliptic operator should be expressible in terms of topological data.
• Getzler، E. (1983)، "Pseudodifferential operators on supermanifolds and the Atiyah–Singer index theorem"، Commun. Math. Phys.، ج. 92، ص. 163–178، Bibcode:1983CMaPh..92..163G، DOI:10.1007/BF01210843
• Getzler، E. (1988)، "A short proof of the local Atiyah–Singer index theorem"، Topology، ج. 25، ص. 111–117، DOI:10.1016/0040-9383(86)90008-X
• Gilkey، Peter B. (1994)، Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Theorem، ISBN:0-8493-7874-5 Free online textbook that proves the Atiyah–Singer theorem with a heat equation approach
• Kasparov، G.G. (1972)، "Topological invariance of elliptic operators, I: K-homology"، Math. USSR Izvestija (Engl. Transl.)، ج. 9، ص. 751–792، Bibcode:1975IzMat...9..751K، DOI:10.1070/IM1975v009n04ABEH001497
• Kirby، R.؛ Siebenmann، L.C. (1969)، "On the triangulation of manifolds and the Hauptvermutung"، Bull. Amer. Math. Soc.، ج. 75، ص. 742–749، DOI:10.1090/S0002-9904-1969-12271-8
• Kirby، R.؛ Siebenmann، L.C. (1977)، Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings and Triangulations، Annals of Mathematics Studies in Mathematics، Princeton: Princeton University Press and Tokio University Press، ج. 88
• Melrose، Richard B. (1993)، The Atiyah–Patodi–Singer Index Theorem، Wellesley, Mass.: Peters، ISBN:1-56881-002-4 Free online textbook.
• Novikov، S.P. (1965)، "Topological invariance of the rational Pontrjagin classes" (PDF)، Doklady Akademii Nauk SSSR، ج. 163، ص. 298–300
• Palais، Richard S. (1965)، Seminar on the Atiyah–Singer Index Theorem، Annals of Mathematics Studies، S.l.: Princeton Univ Press، ج. 57، ISBN:0-691-08031-3 This describes the original proof of the theorem (Atiyah and Singer never published their original proof themselves, but only improved versions of it.)
• Shanahan، P. (1978)، The Atiyah–Singer index theorem: an introduction، Lecture Notes in Mathematics، Springer، ج. 638، DOI:10.1007/BFb0068264، ISBN:0-387-08660-9
• Singer، I.M. (1971)، "Future extensions of index theory and elliptic operators"، Prospects in Mathematics، Annals of Mathematics Studies in Mathematics، ج. 70، ص. 171–185
• Sullivan، D. (1979)، "Hyperbolic geometry and homeomorphisms"، J.C. Candrell, "Geometric Topology", Proc. Georgia Topology Conf. Athens, Georgia, 1977، New York: Academic Press، ص. 543–595، ISBN:0-12-158860-2، Zbl:0478.57007
• Sullivan، D.؛ Teleman، N. (1983)، "An analytic proof of Novikov's theorem on rational Pontrjagin classes"، Publications Mathematiques، Paris، ج. 58، ص. 291–293، Zbl:0531.58045
• Teleman، N. (1980)، "Combinatorial Hodge theory and signature operator"، Inventiones Mathematicae، ج. 61، ص. 227–249، Bibcode:1980InMat..61..227T، DOI:10.1007/BF01390066
• Teleman، N. (1983)، "The index of signature operators on Lipschitz manifolds"، Publications Mathematiques، Paris، ج. 58، ص. 251–290، DOI:10.1007/BF02953772، Zbl:0531.58044
• Teleman، N. (1984)، "The index theorem on topological manifolds"، Acta Mathematica، ج. 153، ص. 117–152، DOI:10.1007/BF02392376، Zbl:0.547.58036 {{استشهاد}}: تأكد من صحة قيمة |zbl= (مساعدة)
• Teleman، N. (1985)، "Transversality and the index theorem"، Integral Equations and Operator Theory، ج. 8، ص. 693–719، DOI:10.1007/BF01201710
• Thom، R. (1956)، "Les classes caractéristiques de Pontrjagin de variétés triangulées"، Symp. Int. Top. Alg. Mexico، ص. 54–67
• Witten، Edward (1982)، "Supersymmetry and Morse theory"، J. Diff. Geom.، ج. 17، ص. 661–692، MR:0683171

وصلات خارجية

• Rafe Mazzeo: The Atiyah–Singer Index Theorem: What it is and why you should care. Pdf presentation.
• Raussen, Skau, Interview with Atiyah, Singer, Notices AMS 2005.
• R. R. Seeley and other, Recollections from the early days of index theory and pseudo-differential operators
• A. J. Wassermann, Lecture notes on the Atiyah–Singer Index Theorem