عدد مثلثي تربيعي 36 تم تمثيله كعدد مثلثي وكعدد مربع. العدد المثلثي التربيعي (أو العدد التربيعي المثلثي ) Square triangular number هو عدد عدد مثلثي ومربع كامل .
هنالك أعداد لانهائية مثلثية تربيعية، الأولى منها هي 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (متسلسلة A001110 في OEIS ).
بكتابة N k k وبكتابة s k t k
N
k
=
s
k
2
=
t
k
(
t
k
+
1
)
2
.
{\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}
عرف الجذر المثلثي للعدد المثلثي
N
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle N={\frac {n(n+1)}{2}}}
n
{\displaystyle n}
n
=
8
N
+
1
−
1
2
.
{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}
N
{\displaystyle N}
8
N
+
1
{\displaystyle 8N+1}
M
2
{\displaystyle M^{2}}
8
M
2
+
1
{\displaystyle 8M^{2}+1}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
2
−
8
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}
n
=
8
{\displaystyle n=8}
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{k},y_{k})}
x
k
+
1
=
2
x
k
x
1
−
x
k
−
1
{\displaystyle x_{k+1}=2x_{k}x_{1}-x_{k-1}}
y
k
+
1
=
2
y
k
x
1
−
y
k
−
1
{\displaystyle y_{k+1}=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}}
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{k},y_{k})}
s
k
=
y
k
,
t
k
=
x
k
−
1
2
,
{\displaystyle s_{k}=y_{k},t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},}
N
k
=
y
k
2
.
{\displaystyle N_{k}=y_{k}^{2}.}
في 1778 استطاع ليونارد أويلر إيجاد الصيغة الصريحة [ 1] [ 2] :12–13
N
k
=
(
(
3
+
2
2
)
k
−
(
3
−
2
2
)
k
4
2
)
2
.
{\displaystyle N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}
من الصيغ الأخرى المكافئة (نحصل عليها من نشر هذه الصيغة) التي قد تكون مناسبة
N
k
=
1
32
(
(
1
+
2
)
2
k
−
(
1
−
2
)
2
k
)
2
=
1
32
(
(
1
+
2
)
4
k
−
2
+
(
1
−
2
)
4
k
)
=
1
32
(
(
17
+
12
2
)
k
−
2
+
(
17
−
12
2
)
k
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right).\end{aligned}}}
الصيغ الصريحة المقابلة لـ s k t k [ 2] :13
s
k
=
(
3
+
2
2
)
k
−
(
3
−
2
2
)
k
4
2
{\displaystyle s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}}
و
t
k
=
(
3
+
2
2
)
k
+
(
3
−
2
2
)
k
−
2
4
.
{\displaystyle t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.}
تنخفض مسألة الأعداد التربيعية المثلثية إلى معادلة بيل بالطريقة التالية.[ 3] t (t + 1)/2. لذلك نبحث عن أعداد صحيحة t ، s بحيث
t
(
t
+
1
)
2
=
s
2
.
{\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.}
بتحليل جبري بسيط تصبح
(
2
t
+
1
)
2
=
8
s
2
+
1
,
{\displaystyle (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,}
ثم بجعل x = 2t + 1 وy = 2s ، نحصل على معادلة ديفونتية
x
2
−
2
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}
وهي صورة من معادلة بيل . هذه المعادلة بالذات تحل عن طريق عدد بيلs P k [ 4]
x
=
P
2
k
+
P
2
k
−
1
,
y
=
P
2
k
;
{\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};}
ولذلك فإن جميع الحلول تعطى بالعلاقة
s
k
=
P
2
k
2
,
t
k
=
P
2
k
+
P
2
k
−
1
−
1
2
,
N
k
=
(
P
2
k
2
)
2
.
{\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.}
هناك العديد من المتطابقات حول عدد بيل، وهذه تترجم إلى متطابقات حول العدد التربيعي المثلثي.
[ عدل ] هناك صيغ تكرارية للأعداد التربيعية المثلثية، وكذلك للمربعات والمثلثيات ذات العلاقة. لدينا[ 5] :(12)
N
k
=
34
N
k
−
1
−
N
k
−
2
+
2
,
with
N
0
=
0
and
N
1
=
1.
{\displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,{\text{ with }}N_{0}=0{\text{ and }}N_{1}=1.}
N
k
=
(
6
N
k
−
1
−
N
k
−
2
)
2
,
with
N
0
=
0
and
N
1
=
1.
{\displaystyle N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},{\text{ with }}N_{0}=0{\text{ and }}N_{1}=1.}
لدينا[ 1] [ 2] :13
s
k
=
6
s
k
−
1
−
s
k
−
2
,
with
s
0
=
0
and
s
1
=
1
;
{\displaystyle s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},{\text{ with }}s_{0}=0{\text{ and }}s_{1}=1;}
t
k
=
6
t
k
−
1
−
t
k
−
2
+
2
,
with
t
0
=
0
and
t
1
=
1.
{\displaystyle t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,{\text{ with }}t_{0}=0{\text{ and }}t_{1}=1.}
مع كبر قيمة
k
{\displaystyle k}
t
k
/
s
k
{\displaystyle t_{k}/s_{k}}
2
≈
1.41421356
{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.41421356}
(
1
+
2
)
4
=
17
+
12
2
≈
33.970562748
{\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{4}=17+12{\sqrt {2}}\approx 33.970562748}
k
{\displaystyle k}
100
000
000
{\displaystyle 100\,000\,000}
k
{\displaystyle k}
N
k
{\displaystyle N_{k}}
s
k
{\displaystyle s_{k}}
t
k
{\displaystyle t_{k}}
t
k
/
s
k
{\displaystyle t_{k}/s_{k}}
N
k
/
N
k
−
1
{\displaystyle N_{k}/N_{k-1}}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1.00000000
{\displaystyle 1.00000000}
2
{\displaystyle 2}
36
{\displaystyle 36}
6
{\displaystyle 6}
8
{\displaystyle 8}
1.33333333
{\displaystyle 1.33333333}
36.000000000
{\displaystyle 36.000000000}
3
{\displaystyle 3}
1
225
{\displaystyle 1\,225}
35
{\displaystyle 35}
49
{\displaystyle 49}
1.40000000
{\displaystyle 1.40000000}
34.027777778
{\displaystyle 34.027777778}
4
{\displaystyle 4}
41
616
{\displaystyle 41\,616}
204
{\displaystyle 204}
288
{\displaystyle 288}
1.41176471
{\displaystyle 1.41176471}
33.972244898
{\displaystyle 33.972244898}
5
{\displaystyle 5}
1
413
721
{\displaystyle 1\,413\,721}
1
189
{\displaystyle 1\,189}
1
681
{\displaystyle 1\,681}
1.41379310
{\displaystyle 1.41379310}
33.970612265
{\displaystyle 33.970612265}
6
{\displaystyle 6}
48
024
900
{\displaystyle 48\,024\,900}
6
930
{\displaystyle 6\,930}
9
800
{\displaystyle 9\,800}
1.41414141
{\displaystyle 1.41414141}
33.970564206
{\displaystyle 33.970564206}
7
{\displaystyle 7}
1
631
432
881
{\displaystyle 1\,631\,432\,881}
40
391
{\displaystyle 40\,391}
57
121
{\displaystyle 57\,121}
1.41420118
{\displaystyle 1.41420118}
33.970562791
{\displaystyle 33.970562791}
8
{\displaystyle 8}
55
420
693
056
{\displaystyle 55\,420\,693\,056}
235
416
{\displaystyle 235\,416}
332
928
{\displaystyle 332\,928}
1.41421144
{\displaystyle 1.41421144}
33.970562750
{\displaystyle 33.970562750}
9
{\displaystyle 9}
1
882
672
131
025
{\displaystyle 1\,882\,672\,131\,025}
1
372
105
{\displaystyle 1\,372\,105}
1
940
449
{\displaystyle 1\,940\,449}
1.41421320
{\displaystyle 1.41421320}
33.970562749
{\displaystyle 33.970562749}
10
{\displaystyle 10}
63
955
431
761
796
{\displaystyle 63\,955\,431\,761\,796}
7
997
214
{\displaystyle 7\,997\,214}
11
309
768
{\displaystyle 11\,309\,768}
1.41421350
{\displaystyle 1.41421350}
33.970562748
{\displaystyle 33.970562748}
11
{\displaystyle 11}
2
172
602
007
770
041
{\displaystyle 2\,172\,602\,007\,770\,041}
46
611
179
{\displaystyle 46\,611\,179}
65
918
161
{\displaystyle 65\,918\,161}
1.41421355
{\displaystyle 1.41421355}
33.970562748
{\displaystyle 33.970562748}
لمربعات الأعداد المثلثية، طالع عدد مربع مثلثي.
