مبرهنة الطاقة الحركية

مبرهنة الطاقة الحركية من المبرهنات التي تبقى صالحة في الميكانيكا الكلاسيكية.^[1]

يساوي تغير الطاقة الحركية ( $ΔE k$ ) لدى نقطة مادية كتلتها ثابتة في نظام عطالي تنتقل من موضع ( $A$ ) لآخر ( $B$ ) مجموع أشغال القوى الخارجية والداخلية المؤثرة فيها. $ΔE k AB = E k B - E k A = ΣW AB F$

برهان

يتعلق تسارع مركز ثقل الجسم المادي بالقوى المؤثرة فيه، بحسب قانون نيوتن الثاني. $m \cdot a = F$

في مدة معينة ( $dt$ )، ينتقل الجسم بمسافة تساوي جداء سرعته ( $v$ ) والمدة. $d u = v \cdot dt$

يستنتج شغل القوى الابتدائي. $δW = F \cdot d u = m \cdot a \cdot d u = m \cdot d v /dt \cdot v \cdot dt = m \cdot v \cdot d v$

إذا انتقل الجسم من نقطة ( $A$ ) لأخرى ( $B$ )، يحصل على الشغل الكلي بالتكامل. $W = \int B A F \cdot d u = \int vB vA m \cdot v \cdot d v$

جذاء السرعة ومشتقها ( $v \cdot d v$ ) مشتق جزئي، فيكون التكامل غير متعلق بطريقة الانتقال بين النقطتين ويمكن إيجاده بالنشر. $W = m \cdot \int vB vA v \cdot d v$

$W = m \cdot ( \int v x B v x A v x \cdot dv x + \int v y B v y A v y \cdot dv y + \int v z B v z A v z \cdot dv z) = m \cdot ( [ v 2 x /2 ] v x B v x A + [ v 2 y /2 ] v y B v y A + [ v 2 z /2 ] v z B v z A) = m \cdot ( v 2 xB -v 2 xA / 2 + v 2 yB -v 2 yA / 2 + v 2 zB -v 2 zA / 2 )$

$W = m/2 \cdot [ ( v 2 xB + v 2 yB + v 2 zB) - ( v 2 xA + v 2 yA + v 2 zA) ] = m/2 \cdot ( || v B || 2 - || v A || 2) = m/2 \cdot ( v 2 B - v 2 A) = m/2 \cdot v 2 B - m/2 \cdot v 2 A = E k B - E k A$