مبرهنة المثلث القائم لفيرما

مثلثن قائما الزاوية بحيث ضلع أحدهما مساوية لضلع الآخر والوتر للجزء السفلي. لهذه الأطوال ، $a^{2}$ و $b^{2}$ ، و $c^{2}$ تشكل متتالية حسابية مفصولة بفجوة $d^{2}$ . لا يمكن لجميع الأطوال الأربعة $a$ و $b$ و $c$ ، و $d$ أن تكون أعداد صحيحة.

مبرهنة المثلث القائم لفيرما هي إثبات على عدم الوجود في نظرية الأعداد ، نُشرت عام 1670 بين أعمال بيير دي فيرما ، بعد وفاته بفترة وجيزة. هذا هو الإثبات الكامل والوحيد الذي قدمه فيرما. لدى المبرهة العديد من الصيغ المكافئة ، تم ذكر إحداها (بدون إثبات) عام 1225 بواسطة فيبوناتشي . تنص في أشكالها الهندسية على:

• لا يمكن أن تكون للمثلث القائم في المستوى الإقليدي الذي تكون أطوال أضلاعه الثلاثة أعدادًا كسرية مساحة تساوي مربع عدد نسبي (كسري).
• لا يمكن لمثلث قائم الزاوية ومربع بمساحات متساوية أن تتقايس جميع الأضلاع مع بعضها البعض.
• لا يوجد مثلثين قائمين حيث يكون ضلع أحد المثلثين هو الساق والوتر للمثلث الآخر.

بشكل أكثر تجريدًا ، كنتيجة حول المعادلات الديوفانتية (عدد صحيح أو حلول عدد نسبي للمعادلات متعددة الحدود) ، فإن المبرهنة تكافئ العبارات الآتية:

• إذا كانت ثلاثة أعداد مربعة تشكل متتالية حسابية، فإن الفجوة بين الأعداد المتتالية في المتتالية (تسمى التطابق ) لا يمكن أن تكون مربع بحد ذاتها.
• النقاط الكسرية الوحيدة على المنحنى الإهليلجي $y^{2}=x(x-1)(x+1)$ هي ثلاث نقاط بديهية مع $x\in \{-1,0,1\}$ و $y=0$ .
• المعادلة الرباعية $x^{4}-y^{4}=z^{2}$ ليس لها حل في الأعداد الصحيحة غير الصفرية.

الصياغة

المربعات في المتتاليات الحسابية

في عام 1225 ، تحدى الإمبراطور فريدريك الثاني عالم الرياضيات فيبوناتشي للمشاركة في مسابقة رياضية ضد العديد من علماء الرياضيات الآخرين ، مع ثلاث مشاكل وضعها فيلسوف بلاطه جون باليرمو. طلبت أول هذه المسائل ثلاثة أعداد كسرية بحيث مربعاتها متباعدة بشكل متساوٍ بمقدار خمس وحدات ، وحلها فيبوناتشي بالأرقام الثلاثة ${\tfrac {31}{12}}$ و ${\tfrac {41}{12}}$ ، و ${\tfrac {49}{12}}$ . في كتاب المربعات ، الذي نشره فيبوناتشي في وقت لاحق من نفس العام ، قام بحل المسألة العامة المتمثلة في إيجاد ثلاثة أعداد مربعة متباعدة بشكل متساوٍ عن بعضها البعض ، مشكلاً متتالية حسابية . وصف فيبوناتشي الفجوة بين هذه الأعداد بأنها متطابقة . تتمثل إحدى طرق وصف حل فيبوناتشي في أن الأعداد المراد تربيعها هي فرق الأضلاع والوتر ومجموع أضلاع مثلث فيثاغورس ، وأن التطابق يساوي أربعة أضعاف مساحة المثلث نفسه. لاحظ فيبوناتشي أنه من المستحيل أن يكون التطابق عددًا مربعًا بحد ذاته ، لكنه لم يقدم برهاناً مرضيًا على هذه الحقيقة.