اختبار المشتقة الثانية

في علم التفاضل، يعد اختبار المشتقة الثانية معيار ذا أهمية لمعرفة نوع النقطة الساكنة للدالة (عظمى، صغرى أم انقلاب) عند النقطة المعنية. ينص الفحص على أنه: إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة ساكنة xبمعنى أنه $\ f^{\prime }(x)=0$, فإن:

• إذا كانت $\ f^{\prime \prime }(x)<0$ فإن $\ f$ لها نهاية عظمى محلية عند $\ x$.
• إذا كانت $\ f^{\prime \prime }(x)>0$ فإن $\ f$ لها نهاية صغرى محلية $\ x$.
• إذا كانت $\ f^{\prime \prime }(x)=0$,لاينص اختبار المشتقة الثانية على شيء عن النقطة $\ x$, يمكن أن تكون نقطة انقلاب.

في الحالة الأخيرة، بالرغم من أن الدالة قد يكون لها قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية عند x, لأن الدالة «مسطحة» بما يكفي (أي أن $\ f^{\prime \prime }(x)=0$) القيم العظمى والصغرىتظل غير محسوسة بالاشتقاق الثاني. في حالة كهذه يفضل اختبار المشتقة الثالثة. النقطة عند $\ f^{\prime \prime }(x)=0$ تكون نقطة انقلاب إذا تغير تقعرها من أي من الجانبين. عل سبيل المثال, (0,0) هي نقطة انقلاب على $\ f(x)=x^{3}$ لأن $\ f^{\prime \prime }(0)=0$, و$\ f^{\prime \prime }(-1)<0$ و$\ f^{\prime \prime }(1)>0$.

مبرهنة اختبار المشتقة الثانية

لنفرض أن $f''(x)>0$ (إثبات أن $f''(x)<0$ متصلة). حينئذ

$0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-0}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.$

بالتالي، من أجلh صغيرة بما يكفي نحصل على

${\frac {f'(x+h)}{h}}>0$

ما يعني أن

$f'(x+h)<0$ إذا كانت h < 0, و

$f'(x+h)>0$ إذا كانت h > 0.

الآن، من اختبار المشتقة الأولى نعلم أن $f$ لها نقطة محلية صغرى عند $x$.

انظر أيضا

• الاشتقاق
• النقاط العظمى والصغرى
• نقطة انقلاب