تحليل مقارب

في التحليل الرياضي ، يعد التحليل المقارب ، المعروف أيضًا باسم التقارب ، طريقة لوصف سلوك النهايات.

كتوضيح، افترض أننا مهتمون بخصائص الدالة f(n) بحيث n هو عدد كبير جدًا. إذا كانت f(n) = n² + 3n إذاً كلما كَبُرت n ، 3n تصبح ضئيلة مقارنة بــ n². يُقال أن الدالة f(n) «مكافئة بشكل مقارب لـ n² ، عندما n → ∞ ». غالبًا ما يتم كتابة هذا على كشكل f(n) ~ n² ، والذي يُقرأ « f(n) مقارب لـ n² ».

كمثال على نتيجة مقاربة مهمة نذكر مبرهنة الأعداد الأولية . لتكن π(x) هي الدالة المعدة للأعداد الأولية، أي أن π(x) هي عدد الأعداد الأولية التي تقل عن x أو تساويها. ثم تنص المبرهنة على الآتي :

$.\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$

تعريف

بالنظر إلى الدالتين f(x) و g(x) ، نحدد العلاقة الثنائية

$f(x)\sim g(x)$ عندما تؤول $x$ إلى $\infty$.

إذا وفقط إذا (دي بروين  1981)

$.\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$

الرمز ~ هو تلدة . العلاقة هي علاقة تكافؤ على مجموعة دوال x ؛ يقال أن الدالتين f و g مكافئتان تقاربيًا (أو بشكل مقارب) . يمكن أن يكون مجال f و g أي مجموعة بشرط أن تكون فيها النهاية معرفة: على سبيل المثال، الأعداد الحقيقية والأرقام المركبة والأعداد الصحيحة الموجبة.

خصائص

إذا كانت $f\sim g$ و $a\sim b$ ، ففي ظل بعض الظروف، الآتي صحيح.

• $f^{r}\sim g^{r}$ ، لكل r
• $\log(f)\sim \log(g)$
• $f\times a\sim g\times b$
• $f/a\sim g/b$

تسمح هذه الخصائص بتبادل الدوال المتكافئة تقاربيًا بحرية في العديد من التعبيرات الجبرية.

أمثلة على الصيغ المقاربة

• عاملي

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

- هذا الأخير هو تقريب ستيرلينغ.

• دالة التجزئة

لعدد صحيح موجب $n$ ، تعطي دالة التجزئة $p(n)$ عدد طرق كتابة العدد الصحيح $n$ كمجموع من الأعداد الصحيحة الموجبة.

$p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}$

مراجع

• Balser، W. (1994)، From Divergent Power Series To Analytic Functions، شبغنكا، ISBN:9783540485940، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
• de Bruijn، N. G. (1981)، Asymptotic Methods in Analysis، Dover Publications، ISBN:9780486642215، مؤرشف من الأصل في 2023-01-17
• Estrada، R.؛ Kanwal، R. P. (2002)، A Distributional Approach to Asymptotics، Birkhäuser، ISBN:9780817681302، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
• Miller، P. D. (2006)، Applied Asymptotic Analysis، جمعية الرياضيات الأمريكية، ISBN:9780821840788، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
• Murray، J. D. (1984)، Asymptotic Analysis، Springer، ISBN:9781461211228، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
• Paris، R. B.؛ Kaminsky، D. (2001)، Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals، مطبعة جامعة كامبريدج، مؤرشف من الأصل في 2022-04-13

وصلات خارجية

• Asymptotic Analysis  —home page of the journal, which is published by IOS Press
• A paper on time series analysis using asymptotic distribution