دائرة واي نجمية (Y) ودائرة دلتا (Δ) مثلثة تحويلة نجمية مثلثية (تحويلة Y-Δ )، يمكن تسميتها أيضا بتحويلة واي دلتا ، هي طريقة رياضية لتبسيط تحليل الدوائر الكهربائية . يرجع الفضل في اكتشاف تلك الطريقة إلى عالم الرياضيات إيرلندي المولد أمريكي الجنسية آرثر إدوين كينلي الذي اكتشفها في عام 1899.[ 1] الدوائر الكهربائية ثلاثية الطور .
يمكن اعتبار التحويلة النجمية المثلثية حالة خاصة من تحويلة الشبكة النجمية لثلاثة مقاومات . في الرياضيات ، تلعب التحويلة دوراً هامّاً في نظرية الرسوم البيانية المستوية الدائرية.[ 2]
تحويلة ستار دلتا. يُشتق الاسم الإنكليزي الاسم من أشكال مخططات الرسم البياني فالنجمة تشبة الحرف Y والمثلث هو حرف يوناني قديم Δ .
للتحويلة مجموعة كبيرة من الأسماء المشهورة بها، يستند معظمها إلى الأشكال. فعلى سبيل المثال، يمكن أن يطلق على الشكل Y ستار ، وي أو تي ، بينما يمكن تسمية رمز Δ دلتا ، المثلث ، باي Π ميش . لذلك تحويلة ستار دلتا هي نفسها وي دلتا ، ستار ميش أو T-Π .
دائرة Y ودائرة Δ، التي تعتمد عليها هذه المقالة. تستخدم الطريقة لإيجاد دائرة مكافئة بسيطة بثلاثة أطراف للدوائر المعقدة. في دوائر الدلتا يشترك كل عنصرين في عقدة بينما في حالة الستار يشترك الثلاث عناصر في عقدة واحدة.
[ عدل ] الفكرة العامة هي إيجاد المقاومة
R
Y
{\displaystyle R_{\text{Y}}}
R
′
{\displaystyle R'}
R
″
{\displaystyle R''}
R
Y
=
R
′
R
″
∑
R
Δ
{\displaystyle R_{\text{Y}}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}
حيث
R
Δ
{\displaystyle R_{\Delta }}
المقاومة الكلية لدائرة دلتا Δ.
R
1
=
R
b
R
c
R
a
+
R
b
+
R
c
R
2
=
R
a
R
c
R
a
+
R
b
+
R
c
R
3
=
R
a
R
b
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}
[ عدل ] الفكرة العامة هي الحصول على
R
Δ
{\displaystyle R_{\Delta }}
R
Δ
=
R
P
R
opposite
{\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\text{opposite}}}}}
حيث:
R
P
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
{\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}
هي مجموع كل عنصرين في الدائرة ستار، بينما
R
opposite
{\displaystyle R_{\text{opposite}}}
R
a
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
1
R
b
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
2
R
c
=
R
1
R
2
+
R
2
R
3
+
R
3
R
1
R
3
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}}
أو بالشكل التالي:
Y
a
=
Y
3
Y
2
∑
Y
Y
Y
b
=
Y
3
Y
1
∑
Y
Y
Y
c
=
Y
1
Y
2
∑
Y
Y
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\end{aligned}}}
يمكن أن تستخدم التحويلة أكثر من مرة في نفس الدائرة المعقدة لتبسيطها، فعلى سبيل المثال يمكن استخدام تحويلة دلتا ستار لحل عقدة ثم تحويلة ستار دلتا لتبسيط عقدة أخرى، كما هو موضح في الأشكال التالية:
تحويلة دائرة ستار إلى دائرة دلتا ثم تبسيط الدائرة أكثر لحلها. نفس الدائرة يمكن تبسيطها باستخدام تحويلة دلتا إلى ستار. في نظرية البيان ، تعني التحويلات النجمية المثلثية استبدال مخطط Y إلى مخطط Δ مع الاحتفاظ بقيمة المقاومات المكافئة، لكن ليس عدد العناصر. فعلى سبيل المثال، يمكن تحويل 3 أشكال دلتا إلى شكل Y وحيد في ثلاث خطوات.
[ عدل ] دائرتي Δ و Y. لتحويل العناصر
{
R
a
,
R
b
,
R
c
}
{\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}
Δ إلى
{
R
1
,
R
2
,
R
3
}
{\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}
Y . تُربَط بداية كل عنصر ونهايته بالعقد. يمكن ملاحظة أن العقد N 1 و N 2 و N 3 يكونوا مثلث Δ :
R
Δ
(
N
1
,
N
2
)
=
R
c
∥
(
R
a
+
R
b
)
=
1
1
R
c
+
1
R
a
+
R
b
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)&=R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\[3pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{\text{c}}}}+{\frac {1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}}}\\[3pt]&={\frac {R_{\text{c}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}\right)}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}
للتبسيط، نجعل
R
T
{\displaystyle R_{\text{T}}}
{
R
a
,
R
b
,
R
c
}
{\displaystyle \left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}}
R
T
=
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}
المقاومة بين العقدة N 1 والعقدة N 2 في الدائرة Δ :
R
Δ
(
N
1
,
N
2
)
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
T
{\displaystyle R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}
تكون المقاومة المكافئة في الدائرة Y :
R
Y
(
N
1
,
N
2
)
=
R
1
+
R
2
{\displaystyle R_{\text{Y}}\left(N_{1},N_{2}\right)=R_{1}+R_{2}}
بالتالي:
R
1
+
R
2
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
T
{\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}}
وبالمثل في حالة
R
(
N
2
,
N
3
)
{\displaystyle R(N_{2},N_{3})}
R
2
+
R
3
=
R
a
(
R
b
+
R
c
)
R
T
{\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}}
وبالمثل أيضا في حالة
R
(
N
1
,
N
3
)
{\displaystyle R\left(N_{1},N_{3}\right)}
R
1
+
R
3
=
R
b
(
R
a
+
R
c
)
R
T
.
{\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{\text{b}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}}}.}
وبالتالي يمكن استنتاج قيم
{
R
1
,
R
2
,
R
3
}
{\displaystyle \left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}}
الجمع والطرح .
R
1
+
R
2
+
R
1
+
R
3
−
R
2
−
R
3
=
R
c
(
R
a
+
R
b
)
R
T
+
R
b
(
R
a
+
R
c
)
R
T
−
R
a
(
R
b
+
R
c
)
R
T
⇒
2
R
1
=
2
R
b
R
c
R
T
⇒
R
1
=
R
b
R
c
R
T
.
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}&={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}+{\frac {R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}-{\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow 2R_{1}&={\frac {2R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}.\end{aligned}}}
لتكون المعادلة النهائية بالشكل التالي:
R
1
=
R
b
R
c
R
T
{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}
R
2
=
R
a
R
c
R
T
{\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}
R
3
=
R
a
R
b
R
T
{\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}}
[ عدل ] نجعل
R
T
=
R
a
+
R
b
+
R
c
{\displaystyle R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}
يمكن استخلاص معادلات Δ من Y:
R
1
=
R
b
R
c
R
T
{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}
R
2
=
R
a
R
c
R
T
{\displaystyle R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}}
R
3
=
R
a
R
b
R
T
.
{\displaystyle R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}.}
بضرب كل معادلتين، يكون شكل المعادلات كالتالي:
R
1
R
2
=
R
a
R
b
R
c
2
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}}{R_{\text{T}}^{2}}}}
R
1
R
3
=
R
a
R
b
2
R
c
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}
R
2
R
3
=
R
a
2
R
b
R
c
R
T
2
{\displaystyle R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}
ثم جمع المعادلات، لتكون المعادلة كالتالي:
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
=
R
a
R
b
R
c
2
+
R
a
R
b
2
R
c
+
R
a
2
R
b
R
c
R
T
2
{\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}+R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}+R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}}
بأخذ
R
a
R
b
R
c
{\displaystyle R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}
R
T
{\displaystyle R_{\text{T}}}
R
T
{\displaystyle R_{\text{T}}}
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
=
(
R
a
R
b
R
c
)
(
R
a
+
R
b
+
R
c
)
R
T
2
=
R
a
R
b
R
c
R
T
{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}&={}{\frac {\left(R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}\right)\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}^{2}}}\\&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\end{aligned}}}
بعد قسمة (8) على (1):
R
1
R
2
+
R
1
R
3
+
R
2
R
3
R
1
=
R
a
R
b
R
c
R
T
R
T
R
b
R
c
=
R
a
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}{\frac {R_{\text{T}}}{R_{\text{b}}R_{\text{c}}}}\\&={}R_{\text{a}},\end{aligned}}}
وبالتالي نحصل على
R
a
{\displaystyle R_{\text{a}}}
R
b
{\displaystyle R_{\text{b}}}
R
c
{\displaystyle R_{\text{c}}}
^ A.E. Kennelly, "Equivalence of triangles and three-pointed stars in conducting networks", Electrical World and Engineer , vol. 34, pp. 413–414, 1899.
^ E.B. Curtis, D. Ingerman, J.A. Morrow, Circular planar graphs and resistor networks , Linear Algebra and its Applications , vol. 238, pp. 115–150, 1998. نسخة محفوظة 24 سبتمبر 2015 على موقع واي باك مشين .
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f634337aa05e90fc7486a0f1461fbd93752fc354)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0413d8a47f9ecbcfbb64f2ed00d8e38c60dc7a69)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9ddaa81f562a2940d877abdf3fdfc5119ab270)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)&=R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\[3pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{\text{c}}}}+{\frac {1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}}}\\[3pt]&={\frac {R_{\text{c}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}\right)}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555fd400b9fa500913005b63dc74977cd1b075d5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}&={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}+{\frac {R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}-{\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow 2R_{1}&={\frac {2R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397af0f10185e983be9bb27683d85dbaa0c540a4)
