توزيع بيتا

توزيع بيتا

دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	$\alpha >0$ (حقيقي) $\beta >0$ (حقيقي)
الدعم	$x\in (0;1)\!$
د۔ك۔ح۔	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!$
د۔ت۔ت	$I_{x}(\alpha ,\beta )\!$
المتوسط الحسابي	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!$
الوسيط الحسابي	$I_{0.5}^{-1}(\alpha ,\beta )$ بلا صيغة مغلقة.
المنوال	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!$ إذا $\alpha >1,\beta >1$
التباين	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!$
التجانف	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
التفرطح	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}\!$
الاعتلاج	$\log(\gamma )\,+\,\log(4\,\pi )\!$
د۔م۔ع	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
الدالة المميزة	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!$
معلومات فيشر	{{{معلومات فيشر}}}

في نظرية الاحتمالات والإحصاء، توزيع بيتا توزيع احتمالي مستمر والاسم مشتق من اسم الدالة الرياضية بيتا التي تظهر في معادلاتها. ودالة بيتا هي نوع من التوزيعات الاحتمالية المستمرة المعرفة على الفترة [0، 1] من قبل اثنين من المعلمات بشكل إيجابي، والرموز α و β، التي تظهر الأسس بالنسبة إلى المتغير العشوائي والتحكم في شكل التوزيع.

الخواص

دالة الكثافة

دالة الكثافة الاحتمالية الخاصة بتوزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\!$

$={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\!$

$={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\!$

حيث $\Gamma$ هي دالة غاما. فيما B دالة بيتا للاستنظام حتى يصبح تكاملها على الفترة يساوي واحد.

دالة التوزيع

دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع بيتا تعطى بالشكل التالي:

$F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} _{x}(\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )\!$