في معالجة الإشارات ، ينظر إلى توزيع ويجنر وفيل متعدد الحدود، على أنه توزيعًا شبه احتمالي، والذي يعمم دالة توزيع ويجنر. اقترحه بوعلام بوشاش ، وبيتر أوشيا في عام 1994م.
العديد من الإشارات في الطبيعة وفي التطبيقات الهندسية، من الممكن نمذجتها على النحو التالي:
z
(
t
)
=
e
j
2
π
ϕ
(
t
)
{\displaystyle z(t)=e^{j2\pi \phi (t)}}
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)}
j
=
−
1
{\displaystyle j={\sqrt {-1}}}
وعلى سبيل المثال، من المهم اكتشاف إشارات مرحلة متعددة الحدود ذات ترتيب عالي عشوائي. ومع ذلك، فإن توزيع ويجنر وفيل التقليدي له حد يعتمد على إحصائيات الدرجة الثانية. وعليه، فقد تم اقتراح توزيع ويجنر وفيل المتعدد الحدود باعتباره شكلًا عامًا لتوزيع ويجنر وفيل التقليدي، والذي يمكنه التعامل مع الإشارات ذات الطور غير الخطي.
توزيع ويجنر وفيل متعدد الحدود
W
z
g
(
t
,
f
)
{\displaystyle W_{z}^{g}(t,f)}
W
z
g
(
t
,
f
)
=
F
τ
→
f
[
K
z
g
(
t
,
τ
)
]
{\displaystyle W_{z}^{g}(t,f)={\mathcal {F}}_{\tau \to f}\left[K_{z}^{g}(t,\tau )\right]}
حيث تشير
F
τ
→
f
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau \to f}}
تحويل فورييه ، وفيما يتعلق بـ
τ
{\displaystyle \tau }
K
z
g
(
t
,
τ
)
{\displaystyle K_{z}^{g}(t,\tau )}
K
z
g
(
t
,
τ
)
=
∏
k
=
−
q
2
q
2
[
z
(
t
+
c
k
τ
)
]
b
k
{\displaystyle K_{z}^{g}(t,\tau )=\prod _{k=-{\frac {q}{2}}}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}}
حيث
z
(
t
)
{\displaystyle z(t)}
q
{\displaystyle q}
K
z
g
(
t
,
τ
)
=
∏
k
=
0
q
2
[
z
(
t
+
c
k
τ
)
]
b
k
[
z
∗
(
t
+
c
−
k
τ
)
]
−
b
−
k
{\displaystyle K_{z}^{g}(t,\tau )=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(t+c_{-k}\tau \right)\right]^{-b_{-k}}}
ويتم إعطاء الإصدار المتقطع للزمن لتوزيع ويجنر وفيل متعدد الحدود بواسطة تحويل فورييه المتقطع لـ
K
z
g
(
n
,
m
)
=
∏
k
=
0
q
2
[
z
(
n
+
c
k
m
)
]
b
k
[
z
∗
(
n
+
c
−
k
m
)
]
−
b
−
k
{\displaystyle K_{z}^{g}(n,m)=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(n+c_{k}m\right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(n+c_{-k}m\right)\right]^{-b_{-k}}}
حيث
n
=
t
f
s
,
m
=
τ
f
s
,
{\displaystyle n=t{f}_{s},m={\tau }{f}_{s},}
f
s
{\displaystyle f_{s}}
q
=
2
,
b
−
1
=
−
1
,
b
1
=
1
,
b
0
=
0
,
c
−
1
=
−
1
2
,
c
0
=
0
,
c
1
=
1
2
{\displaystyle q=2,b_{-1}=-1,b_{1}=1,b_{0}=0,c_{-1}=-{\frac {1}{2}},c_{0}=0,c_{1}={\frac {1}{2}}}
يمكن تحقيق واحدة من أبسط التعميمات لنواة توزيع ويجنر وفيل المعتادة من خلال أخذ
q
=
4
{\displaystyle q=4}
b
k
{\displaystyle b_{k}}
c
k
{\displaystyle c_{k}}
b
1
=
−
b
−
1
=
2
,
b
2
=
b
−
2
=
1
,
b
0
=
0
{\displaystyle b_{1}=-b_{-1}=2,b_{2}=b_{-2}=1,b_{0}=0}
c
1
=
−
c
−
1
=
0.675
,
c
2
=
−
c
−
2
=
−
0.85
{\displaystyle c_{1}=-c_{-1}=0.675,c_{2}=-c_{-2}=-0.85}
وبعد ذلك، يتم تقديم نواة الوقت المتقطع الناتجة بواسطة
K
z
g
(
n
,
m
)
=
[
z
(
n
+
0.675
m
)
z
∗
(
n
−
0.675
m
)
]
2
z
∗
(
n
+
0.85
m
)
z
(
n
−
0.85
m
)
{\displaystyle K_{z}^{g}(n,m)=\left[z\left(n+0.675m\right)z^{*}\left(n-0.675m\right)\right]^{2}z^{*}\left(n+0.85m\right)z\left(n-0.85m\right)}
[ عدل ] وفيما يتعلق بالإشارة المعطاه
z
(
t
)
=
e
j
2
π
ϕ
(
t
)
{\displaystyle z(t)=e^{j2\pi \phi (t)}}
ϕ
(
t
)
=
∑
i
=
0
p
a
i
t
i
{\displaystyle \phi (t)=\sum _{i=0}^{p}a_{i}t^{i}}
ϕ
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
p
i
a
i
t
i
−
1
{\displaystyle \phi '(t)=\sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1}}
وللحصول على نواة متعددة الحدود عملية
K
z
g
(
t
,
τ
)
{\displaystyle K_{z}^{g}(t,\tau )}
q
,
b
k
{\displaystyle q,b_{k}}
c
k
{\displaystyle c_{k}}
K
z
g
(
t
,
τ
)
=
∏
k
=
0
q
2
[
z
(
t
+
c
k
τ
)
]
b
k
[
z
∗
(
t
+
c
−
k
τ
)
]
−
b
−
k
=
exp
(
j
2
π
∑
i
=
1
p
i
a
i
t
i
−
1
τ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}K_{z}^{g}(t,\tau )&=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(t+c_{-k}\tau \right)\right]^{-b_{-k}}\\&=\exp(j2\pi \sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1}\tau )\end{aligned}}}
W
z
g
(
t
,
f
)
=
∫
−
∞
∞
exp
(
−
j
2
π
(
f
−
∑
i
=
1
p
i
a
i
t
i
−
1
)
τ
)
d
τ
≅
δ
(
f
−
∑
i
=
1
p
i
a
i
t
i
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}W_{z}^{g}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-j2\pi (f-\sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1})\tau )d\tau \\&\cong \delta (f-\sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1})\end{aligned}}}
وعندما يكون
q
=
2
,
b
−
1
=
−
1
,
b
0
=
0
,
b
1
=
1
,
p
=
2
{\displaystyle q=2,b_{-1}=-1,b_{0}=0,b_{1}=1,p=2}
z
(
t
+
c
1
τ
)
z
∗
(
t
+
c
−
1
τ
)
=
exp
(
j
2
π
∑
i
=
1
2
i
a
i
t
i
−
1
τ
)
{\displaystyle z\left(t+c_{1}\tau \right)z^{*}\left(t+c_{-1}\tau \right)=\exp(j2\pi \sum _{i=1}^{2}ia_{i}t^{i-1}\tau )}
a
2
(
t
+
c
1
)
2
+
a
1
(
t
+
c
1
)
−
a
2
(
t
+
c
−
1
)
2
−
a
1
(
t
+
c
−
1
)
=
2
a
2
t
τ
+
a
1
τ
{\displaystyle a_{2}(t+c_{1})^{2}+a_{1}(t+c_{1})-a_{2}(t+c_{-1})^{2}-a_{1}(t+c_{-1})=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau }
⇒
c
1
−
c
−
1
=
1
,
c
1
+
c
−
1
=
0
{\displaystyle \Rightarrow c_{1}-c_{-1}=1,c_{1}+c_{-1}=0}
⇒
c
1
=
1
2
,
c
−
1
=
−
1
2
{\displaystyle \Rightarrow c_{1}={\frac {1}{2}},c_{-1}=-{\frac {1}{2}}}
وعندما يكون
q
=
4
,
b
−
2
=
b
−
1
=
−
1
,
b
0
=
0
,
b
2
=
b
1
=
1
,
p
=
3
{\displaystyle q=4,b_{-2}=b_{-1}=-1,b_{0}=0,b_{2}=b_{1}=1,p=3}
a
3
(
t
+
c
1
)
3
+
a
2
(
t
+
c
1
)
2
+
a
1
(
t
+
c
1
)
a
3
(
t
+
c
2
)
3
+
a
2
(
t
+
c
2
)
2
+
a
1
(
t
+
c
2
)
−
a
3
(
t
+
c
−
1
)
3
−
a
2
(
t
+
c
−
1
)
2
−
a
1
(
t
+
c
−
1
)
−
a
3
(
t
+
c
−
2
)
3
−
a
2
(
t
+
c
−
2
)
2
−
a
1
(
t
+
c
−
2
)
=
3
a
3
t
2
τ
+
2
a
2
t
τ
+
a
1
τ
{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{3}(t+c_{1})^{3}+a_{2}(t+c_{1})^{2}+a_{1}(t+c_{1})\\&a_{3}(t+c_{2})^{3}+a_{2}(t+c_{2})^{2}+a_{1}(t+c_{2})\\&-a_{3}(t+c_{-1})^{3}-a_{2}(t+c_{-1})^{2}-a_{1}(t+c_{-1})\\&-a_{3}(t+c_{-2})^{3}-a_{2}(t+c_{-2})^{2}-a_{1}(t+c_{-2})\\&=3a_{3}t^{2}\tau +2a_{2}t\tau +a_{1}\tau \end{aligned}}}
⇒
{
c
1
+
c
2
−
c
−
1
−
c
−
2
=
1
c
1
2
+
c
2
2
−
c
−
1
2
−
c
−
2
2
=
0
c
1
3
+
c
2
3
−
c
−
1
3
−
c
−
2
3
=
0
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{cases}c_{1}+c_{2}-c_{-1}-c_{-2}=1\\c_{1}^{2}+c_{2}^{2}-c_{-1}^{2}-c_{-2}^{2}=0\\c_{1}^{3}+c_{2}^{3}-c_{-1}^{3}-c_{-2}^{3}=0\end{cases}}}
تعد إشارات FM غير الخطية شائعة في الطبيعة، وكذلك في التطبيقات الهندسية. فعلى سبيل المثال، يستخدم نظام السونار لبعض الخفافيش إشارات FM زائدية، وإشارات FM تربيعية؛ من أجل تحديد الموقع عن طريق الصدى . وفي الرادار ، تستخدم بعض مخططات ضغط النبضة إشارات FM خطية وإشارات تربيعية. يتسم توزيع ويجنر وفيل بتركيز مثالي في مستوى التردد الزمني لإشارات التضمين الترددي الخطي. ومع ذلك، بالنسبة لإشارات التردد المعدلة غير الخطية، لا يتم فيها الحصول على التركيز الأمثل، وتنتج عن ذلك تمثيلات طيفية مشوهة. يمكن تصميم توزيع ويجنر وفيل المتعدد الحدود للتعامل مع هذه المشكلة.
![{\displaystyle W_{z}^{g}(t,f)={\mathcal {F}}_{\tau \to f}\left[K_{z}^{g}(t,\tau )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a740d196e07cf2ae7d81f00e326e7ed8ce43aa08)
![{\displaystyle K_{z}^{g}(t,\tau )=\prod _{k=-{\frac {q}{2}}}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7d3fdb9c7a91fac5e8fbc10e27b6d4802797f2)
.jpg)
![{\displaystyle K_{z}^{g}(t,\tau )=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(t+c_{-k}\tau \right)\right]^{-b_{-k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1349a5a121e3af6753817726a5187d0684752627)
![{\displaystyle K_{z}^{g}(n,m)=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(n+c_{k}m\right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(n+c_{-k}m\right)\right]^{-b_{-k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6815fc858f5caadd88cb064cf2fb4e00a921ec4)
![{\displaystyle K_{z}^{g}(n,m)=\left[z\left(n+0.675m\right)z^{*}\left(n-0.675m\right)\right]^{2}z^{*}\left(n+0.85m\right)z\left(n-0.85m\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f028a0741b754b125535f840cc9c4473de3a42f0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{z}^{g}(t,\tau )&=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(t+c_{-k}\tau \right)\right]^{-b_{-k}}\\&=\exp(j2\pi \sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1}\tau )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc320a0b85fe419e5a08f2c04779374f28f5a3b)
.svg)
