من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في نظرية الأعداد ، جداء أويلر (بالإنجليزية : Euler product ) هو جداء يمكن من تحويل متسلسلة دركليه إلى جداء غير منته منظم بواسطة الأعداد الأولية . سمي هكذا بسبب الحالة الخاصة لدالة زيتا حيث وجد ليونهارد أويلر هذا الجداء.
في الرياضيات وتحديدا في نظرية الأعداد التحليلية ، جداء أولير هو نشر لجداء غير منته ، مدلاته الأعداد الأولية .[ 1]
يمكن من قياس انتشار الأعداد الأولية وهو وثيق الصلة بدالة زيتا لريمان .
سمي على شرف عالم الرياضيات السويسري ليونهارد أويلر .
ليونهارد أويلر بصفة عامة، إذا كانت a دالة جداءية فإن متسلسلة دركليه التي تكتب على الشكل التالي :
∑
n
a
(
n
)
n
s
{\displaystyle \sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\,}
تساوي
∏
p
P
(
p
,
s
)
{\displaystyle \prod _{p}P(p,s)\,}
حيث يؤخذ الجداء عبر الأعداد الأولية وحيث P (p , s )
∑
k
=
0
∞
a
(
p
k
)
p
k
s
=
1
+
a
(
p
)
p
s
+
a
(
p
2
)
p
2
s
+
a
(
p
3
)
p
3
s
+
⋯
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots }
في الأمثلة التالية، يشير الرمز
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
P
=
{
p
∈
N
|
p
is prime
}
.
{\displaystyle \mathbb {P} =\{p\in \mathbb {N} \,|\,p{\text{ is prime}}\}.}
جداء أويلر المرتبط بدالة زيتا لريمان هو :
∏
p
∈
P
(
1
1
−
1
p
s
)
=
∏
p
∈
P
(
∑
k
=
0
∞
1
p
k
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
ζ
(
s
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).\end{aligned}}}
∏
p
∈
P
(
1
1
+
1
p
s
)
=
∑
n
=
1
∞
λ
(
n
)
n
s
=
ζ
(
2
s
)
ζ
(
s
)
.
{\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}
∏
p
∈
P
(
1
−
1
p
s
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
s
=
1
ζ
(
s
)
{\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}
^ نصادف مع ذلك تعبير الجداء الأويلري بالنسبة للنشر إلى جداء غير منته ، مثل الذي (اكتشف من طرف أويلر) بالنسبة ل sin(x )/x ، والذي يسمى حاليا بالأحرى جداء ويرستراس
ميّز عن جداء ويرستراس.
