من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في الرياضيات، جداء واليس (بالإنجليزية: Wallis product) من أجل حساب π ينص على أن :
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9e54fef4520f0fcc94caed6d0fd82a14e396af)
اكتشف هذا الجداء جون واليس عام 1655.[1][2]
البرهان باستعمال جداء أويلر غير المنتهي، مطبقا على دالة الجيب[عدل]
استعمل واليس في هذه الصيغة موضوعة لم يُبرهن عليها حتى القرن التاسع عشر، مطبقة على دالة الجيب، والتي قد تسمى جداء أويلر غير المنتهي.
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74dce42e79aff73ee96dbfb03216bd02fc23c68)
ليكن x = π⁄2:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {2}{\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\\\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c1c775d24d34a9394c8e7dc6b48b5d2839a5ae)
انظر أيضا[عدل]
- صيغة فييت، صيغة أخرى تتمثل في جداء غير منته يمكن من حساب π.
مراجع[عدل]
وصلات خارجية[عدل]