قنطرة ويتستون

قنطرة ويتستون هي قنطرة كهربية لقياس المقاومات، اخترعها الإنجليزي صمويل كريستي عام 1833 وحسنها وأكملها شارلز وهيتستون عام 1843 . وتـُجري عملية قياس المقاومة الكهربية المجهولة بعد تركيبها في دائرة كهربائية ذات فرعين (قنطرة) ثم موازنة التيار فيهما. وهي تعمل مثلما يعمل مقياس الجهد potentiometer ، مع الفرق أن في دائرة مقياس الجهد يستعمل جلفانومتر حساس.

قنطرة وهيتستون وفيها المقاومة المجهولة Rx.

طريقة القياس

في الشكل المجاور تمثل المقاومة الكهربية Rx المقاومة المجهولة والمطلوب تعيينها .المقاومات $R_{1}$ و$R_{2}$ و $R_{3}$ معروفين ، في حين أن المقاومة $R_{2}$ قابلة للتغيير . فإذا تساوت نسبة المقاومتين الموجودتين في الفرع المعروف $(R_{2}/R_{1})$ مع نسبة المقاومتين في الفرع الغير معروف $(R_{x}/R_{3})$ يصبح فرق الجهد بين النقطتين B و D صفرا ولا يمر تيار كهربائي في الجلفانومتر $V_{g}$. لذلك نغير المقاومة المتغيرة $R_{2}$ حتي نحصل على حالة الاتزان . وتوضح قراءة الجلفانومتر عما إذا كانت المقاومة $R_{2}$ كبيرة أم صغيرة.

ويمكن قراءة الجلفانومتر بدقة عالية . فإذا كانت المقاومات $R_{1}$ و $R_{2}$ و $R_{3}$ معروفة بدقة عالية ، أصبح من الممكن تعيين المقاومة المجهولة $R_{x}$ أيضا بدقة عالية.

عند الوصول إلى حالة التوازن ، تنطبق المعادلة :

$R_{2}/R_{1}=R_{x}/R_{3}$

وبناء على ذلك يكون:

$R_{x}=(R_{2}/R_{1})\cdot R_{3}$

وهناك حالة تكون فيها قيم المقاومات $R_{1}$ و $R_{2}$ و $R_{3}$ معروفة من دون أن تكون المقاومة $R_{2}$ قابلة للتغيير . في هذه الحالة نستطيع أن نستعمل قراءة فرق الجهد على مقياس الجهد $V_{g}$ أو شدة التيار المار فيه لتعيين المقاومة $R_{x}$ باستخدام قانون كيرشوف .

استنباط معادلة قنطرة وهيتستون

نستخدم القاعدة الأولى من قانون كيرشوف للجهد للحصول على شدة التيار في النقطتين B و D:

$I_{3}\ -I_{x}\ +I_{g}=0$

$I_{1}\ -I_{2}\ -I_{g}=0$

ثم نستخدم القاعدة الثانية لقانون كيرشوف للحصول على فرق الجهد في جزئي الدائرة ABD و BCD:

$(I_{3}\cdot R_{3})-(I_{g}\cdot R_{g})-(I_{1}\cdot R_{1})=0$

$(I_{x}\cdot R_{x})-(I_{2}\cdot R_{2})+(I_{g}\cdot R_{g})=0$

نوازن القنطرة بحيث يكون $I_{g}=0$ ، بذلك يمكننا صياغة المعادلتين الأخيرتين بالطريقة الآتية :

$I_{3}\cdot R_{3}=I_{1}\cdot R_{1}$

$I_{x}\cdot R_{x}=I_{2}\cdot R_{2}$

بقسمة المعادلتين على بعضهما وعزل Rx على الجانب الأيسر ، نحصل على الصيغة التالية :

$R_{x}={{R_{2}\cdot I_{2}\cdot I_{3}\cdot R_{3}} \over {R_{1}\cdot I_{1}\cdot I_{x}}}$

نعرف من القاعدة الأولى لكيرشوف أن $I_{3}=I_{x}$ و $I_{1}=I_{2}$ ، ويمكن حساب المقاومة المجهولة بواسطة المعادلة:

$R_{x}={{R_{3}\cdot R_{2}} \over {R_{1}}}$

أصبحت الآن قيم الأربعة مقاومات معروفة وكذلك جهد المصدر $V_{S}$ . ويمكن تعيين فرق الجهد عبر القنطرة $V_{G}$ عن طريق تعيين جهد عند النقطتين B و D وطرح قيمتيهما . فتنطبق المعادلة :

$V_{G}={{R_{x}} \over {R_{3}+R_{x}}}V_{s}-{{R_{2}} \over {R_{1}+R_{2}}}V_{s}$

ويمكن تبسيط تلك المعادلة لتصبح:

$V_{G}=\left({{R_{x}} \over {R_{3}+R_{x}}}-{{R_{2}} \over {R_{1}+R_{2}}}\right)V_{s}$

انظر أيضا

• دارة التوالي أو التوازي