من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
حركة جسيم في بعد واحد (بالإنجليزي : Particle in a one-dimensional lattice)
تُناقَش حركةُ الأيونات الموجبة في بعد واحد بافتراض أن البعد بين أيون وآخر يساوي فرق جهد (كمون ) في البنية البلورية .[ 1]
التمثيل الرياضي للكمون هو دالة دورية خلال الفترة a , يتم حلها بواسطة نظرية بلوخ , فيكون حل الدالة الموجية في معادلة شرودنجرهو :
ψ
(
x
)
=
e
i
k
x
u
(
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x).\,\!}
حيث أن :
(u (x دالة دورية بشرط أن :
u
(
x
+
a
)
=
u
(
x
)
{\displaystyle u(x+a)=u(x)\,\!}
نطبق شروط بورن فون - كرمان الحدية عند أطراف الشبكة البلورية , بفرض أن L طول الشبكة بالتالي L >> a وهذا يؤدي إلى أن يكون عدد الأيونات(N) كبير جدا داخل الشبكة بالتالي حركة الأيون تكون خطية وداله الموجية ثابته تقريبا , فيكون لدينا شرط حدي واحد :
ψ
(
0
)
=
ψ
(
L
)
.
{\displaystyle \psi (0)=\psi (L).\,\!}
يمكننا الآن استبدال الحدود استنادا للعلاقة aN = L , وتطبيق نظرية بلوخ ..بالتالي يمكن تكميم العدد الموجي k
ψ
(
0
)
=
e
i
k
⋅
0
u
(
0
)
=
e
i
k
L
u
(
L
)
=
ψ
(
L
)
{\displaystyle \psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)\,\!}
u
(
0
)
=
e
i
k
L
u
(
N
a
)
→
e
i
k
L
=
1
{\displaystyle u(0)=e^{ikL}u(Na)\rightarrow e^{ikL}=1\,\!}
⇒
k
L
=
2
π
n
→
k
=
2
π
L
n
(
n
=
0
,
±
1
,
±
2
,
.
.
.
,
±
N
2
)
.
{\displaystyle \Rightarrow kL=2\pi n\rightarrow k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm {N \over 2}\right).\,\!}
يفسر هذا النموذج حركة الكترونات التوصيل بين حاجز جهد مستطيل تحت تأثير فرق جهد دوري , فتكون دالة الجهد تساوي تقريبا فرق الجهد للمستطيل :
وباستخدام نظرية بلوخ لإيجاد حل الدالة على فترة واحدة
F
o
r
−
1
2
(
a
−
b
)
<
x
<
1
2
(
a
−
b
)
:
{\displaystyle For\quad -{\frac {1}{2}}(a-b)<x<{\frac {1}{2}}(a-b):\,\!}
−
ℏ
2
2
m
ψ
x
x
=
E
ψ
{\displaystyle {-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=E\psi \,\!}
⇒
ψ
=
A
e
i
α
x
+
A
′
e
−
i
α
x
(
α
2
=
2
m
E
ℏ
2
)
{\displaystyle \Rightarrow \psi =Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}\quad \left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\,\!}
F
o
r
−
1
2
(
a
+
b
)
<
x
<
−
1
2
(
a
−
b
)
:
{\displaystyle For\quad -{\frac {1}{2}}(a+b)<x<-{\frac {1}{2}}(a-b):\,\!}
−
ℏ
2
2
m
ψ
x
x
=
(
E
+
V
0
)
ψ
{\displaystyle {-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=(E+V_{0})\psi \,\!}
⇒
ψ
=
B
e
i
β
x
+
B
′
e
−
i
β
x
(
β
2
=
2
m
(
E
+
V
0
)
ℏ
2
)
.
{\displaystyle \Rightarrow \psi =Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}\quad \left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\,\!}
ولإيجاد الدالة لجميع الفترات u (x ) نقوم بحل الدالة الموجية
ψ
(
0
<
x
<
a
−
b
)
=
A
e
i
α
x
+
A
′
e
−
i
α
x
=
e
i
k
x
⋅
(
A
e
i
(
α
−
k
)
x
+
A
′
e
−
i
(
α
+
k
)
x
)
{\displaystyle \psi (0<x<a-b)=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\cdot \left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\,\!}
⇒
u
(
0
<
x
<
a
−
b
)
=
A
e
i
(
α
−
k
)
x
+
A
′
e
−
i
(
α
+
k
)
x
.
{\displaystyle \Rightarrow u(0<x<a-b)=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\,\!}
وبنفس الطريقة
u
(
−
b
<
x
<
0
)
=
B
e
i
(
β
−
k
)
x
+
B
′
e
−
i
(
β
+
k
)
x
.
{\displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.\,\!}
ψ
(
0
−
)
=
ψ
(
0
+
)
ψ
′
(
0
−
)
=
ψ
′
(
0
+
)
.
{\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).\,\!}
u
(
−
b
)
=
u
(
a
−
b
)
u
′
(
−
b
)
=
u
′
(
a
−
b
)
.
{\displaystyle u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).\,\!}
فتكون المصفوفة
(
1
1
−
1
−
1
α
−
α
−
β
β
e
i
(
α
−
k
)
(
a
−
b
)
e
−
i
(
α
+
k
)
(
a
−
b
)
−
e
−
i
(
β
−
k
)
b
−
e
i
(
β
+
k
)
b
(
α
−
k
)
e
i
(
α
−
k
)
(
a
−
b
)
−
(
α
+
k
)
e
−
i
(
α
+
k
)
(
a
−
b
)
−
(
β
−
k
)
e
−
i
(
β
−
k
)
b
(
β
+
k
)
e
i
(
β
+
k
)
b
)
(
A
A
′
B
B
′
)
=
(
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.\,\!}
عندما يكون محدد المصفوفة مساويا للصفر , يكون
cos
(
k
a
)
=
cos
(
β
b
)
cos
[
α
(
a
−
b
)
]
−
α
2
+
β
2
2
α
β
sin
(
β
b
)
sin
[
α
(
a
−
b
)
]
.
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].\,\!}
وللتبسيط
b
→
0
;
V
0
→
∞
;
V
0
b
=
c
o
n
s
t
a
n
t
{\displaystyle b\rightarrow 0\ ;\ V_{0}\rightarrow \infty \ ;\ V_{0}b=\mathrm {constant} \,\!}
⇒
β
2
b
=
c
o
n
s
t
a
n
t
;
α
2
b
→
0
{\displaystyle \Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} \ ;\ \alpha ^{2}b\rightarrow 0\,\!}
⇒
β
b
→
0
;
sin
(
β
b
)
→
β
b
;
cos
(
β
b
)
→
1.
{\displaystyle \Rightarrow \beta b\rightarrow 0\ ;\ \sin(\beta b)\rightarrow \beta b\ ;\ \cos(\beta b)\rightarrow 1.\,\!}
بالتالي
cos
(
k
a
)
=
cos
(
α
a
)
−
P
sin
(
α
a
)
α
a
(
P
=
m
V
0
b
a
h
2
)
.
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a}\qquad \left(P={mV_{0}ba \over h^{2}}\right).\,\!}
![{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd5b8332003745abc5435e447fe292d5f93326a)
