من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في التحليل العددي، خوارزمية كلنشو (بالإنجليزية: Clenshaw algorithm)[1] هي طريقة ذاتية الاستدعاء لتقييم توافقات خطية من كثيرات حدود شيبيشيف. يمكن تطبيقها عموماً على أي نوع من كثيرات الحدود التي يمكن تعريفها بعلاقة تكرارية ثلاثية الحدود.
الخوارزمية[عدل]
بفرض أن
دوال متعاقبة تحقق العلاقة التكرارية
![{\displaystyle \phi _{k+1}(x)+\alpha _{k}(x)\,\phi _{k}(x)+\beta _{k}(x)\,\phi _{k-1}(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f312184e7f74790aa07d79c116b41388e9f4654)
حيث إن المعاملات
و
هي معلومة مسبقاً. لأي تعاقب محدود
، تعرف الدوال
بواسطة صيغة التكرار العكسي:
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{n+1}(x)&=b_{n+2}(x)=0,\\[.5em]b_{k}(x)&=c_{k}-\alpha _{k}(x)\,b_{k+1}(x)-\beta _{k+1}\,b_{k+2}(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c04a455b019ba1113ef8103450811dac628203)
التوافق الخطي
يحقق العلاقة:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}\phi _{k}(x)=b_{0}(x)\phi _{0}(x)+b_{1}(x)\left[\phi _{1}(x)+\alpha _{0}(x)\phi _{0}(x)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0133a3dbbf2ba212dc0fd05e848fb7fd43baa7)
طالع فوكس وباركر[2] لمعلومات أوفر عنها وعن تحليل الاستقرارية.
حالة خاصة لمتسلسلة شيبيشيف[عدل]
لتكن متسلسلة شيبيشيف المختصرة
![{\displaystyle p_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+a_{1}T_{1}(x)+a_{2}T_{2}(x)+\cdots +a_{n}T_{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a8279694c71ad76d7935004c47e51e8f9b88bc)
تكون المعاملات في الصيغة التكرارية من كثيرات حدود شيبيشيف
![{\displaystyle \alpha _{k}(x)=-2x,\quad \beta _{k}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8181550d88235aa8bf88e107f1ca5f1e6507ae4)
بالتالي، بالاستعانة بالمطابقات
![{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,\quad T_{1}(x)=xT_{0}(x),\\[.5em]b_{0}(x)&=a_{0}+2xb_{1}(x)-b_{2}(x),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31eb0828a3a95685fc916f0b71b190523235b2f)
يمكن اختصار خوارزم كلنشو إلى:
![{\displaystyle p_{n}(x)={\frac {1}{2}}\left[b_{0}(x)-b_{2}(x)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e0954f1b76be0068eae2424bf6a44ef1d03334)
انظر أيضا[عدل]
مصادر[عدل]
- ^ C. W. Clenshaw، A note on the summation of Chebyshev series, Math. Tab. Wash. 9 (1955) pp 118--120.
- ^ L. Fox and I. B. Parker, Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis, Oxford University Press (1968).