زاوية التوازي

زاوية التوازي في الهندسة الزائدية

في الهندسة الزائدية ، زاوية التوازيangle of parallelism) $\Pi (a)$ هي الزاوية عند الرأس غير القائم الزاوية في مثلث زائدي قائم الزاوية أيضا و له ضلعان متوازيان مقاربان . تعتمد الزاوية على طول القطعةa بين الزاوية القائمة و رأس زاوية التوازي.

إذا كانت هناك نقطة ليست على خط مستقيم، فقم بإسقاط خط عمودي على الخط من هذه النقطة . ليكن a هو طول هذا المقطع العمودي، و $\Pi (a)$ تكون أصغر زاوية بحيث لا يتقاطع الخط المرسوم عبر النقطة مع الخط المعطى. نظرًا لأن الجانبين متوازيان بشكل مقارب،

$\lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi \quad {\text{ and }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.$

هناك خمسة تعبيرات متكافئة تربط $\Pi (a)$ و :

$\sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\,$

$\cos \Pi (a)=\tanh a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\,$

$\tan \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}\ ,$

$\tan \left({\tfrac {1}{2}}\Pi (a)\right)=e^{-a},$

$\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} (a),$

حيث sinh و cosh وtanh و sech وcsch هي دوال زائدية وgd هي دالة غودرمان .

البناء

اكتشف يانوس بولياي إنشاءً يعطي الموازي المقارب s لخط r يمر عبر نقطة A وليس على r . قم بإسقاط خط عمودي من A إلى B على r . اختر أي نقطة C على r مختلفة عن B. أنشئ عموديًا t على r عند C. أسقط خط عموديا من A إلى D على t . عندئذٍ يكون الطول DA أطول من CB ، ولكنه أقصر من CA. أرسم دائرة حول C بنصف قطر يساوي DA . سيتقاطع مع القطعة المستقيمة AB عند النقطة E. عندها تكون الزاوية BEC مستقلة عن الطول BC ، و تعتمد فقط على AB ؛ و هي زاوية التوازي. قم بإنشاء s خلال A بزاوية BEC من AB .

$\sin BEC={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {CE}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {DA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sin {ACD}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\cos {ACB}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}\tanh {CA}}{\tanh {CB}\sinh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CB}\cosh {AB}}}={\frac {1}{\cosh {AB}}}\,.$

راجع علم مثلثاث المثلثات القائمة لمعرفة الصيغ المستخدمة هنا.

التاريخ

تم تطوير زاوية التوازي في عام 1840 في المنشور الألماني "Geometrische Unter suchungen zur Theory der Parallellinien" بقلم نيكولاي لوباتشيفسكي .

أصبح هذا المنشور معروفًا على نطاق واسع باللغة الإنجليزية بعد أن قام الأستاذ من تكساس جي بي هالستيد بترجمة الكتاب في عام 1891. ( أبحاث هندسية حول نظرية المتوازيات )

تتناول المقاطع التالية هذا المفهوم المحوري في الهندسة الزائدية:

الزاوية HAD بين HA الموازي وAD العمودي تسمى زاوية التوازي (زاوية التوازي) والتي سنشير إليها هنا بـ Π(p) لـ AD = p .

التوضيح

زاوية التوازي، Φ ، يمكن صياغتها على النحو التالي: (أ) الزاوية بين المحور x والخط الممتد من x ، مركز Q ، إلى y ، نقطة تقاطع Q مع المحور y، و(ب) الزاوية من مماس Q عند y إلى المحور y.



</br> هذا الرسم البياني، مع المثلث المثالي الأصفر، يشبه الرسم البياني الموجود في كتاب سموجورزيفسكي.

في نموذج بوانكاريه لنصف المستوى للمستوى الزائدي (انظر الحركات الزائدية )، يمكننا إقامة علاقة Φ مع a باستخدام الهندسة الإقليدية . ليكن Q هو نصف الدائرة التي يبلغ قطرها على المحور السيني والتي تمر عبر النقطتين (1,0) و(0, y )، حيث y > 1. نظرًا لأن Q مماس لنصف الدائرة الوحدوية التي يقع مركزها في الأصل، فإن نصفي الدائرتين يمثلان خطوطًا زائدية متوازية . يتقاطع المحور y مع نصفي الدائرة، مما يشكل زاوية قائمة مع نصف الدائرة الوحدوية و زاوية متغيرة Φ مع Q. الزاوية في مركز Q التي يحيط بها نصف القطر إلى (0، y ) هي أيضًا Φ لأن الزاويتين لهما جوانب متعامدة، من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيسر، و من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيمن كذلك. نصف الدائرة Q يقع مركزها عند ( x ، 0)، x < 0، لذا نصف قطرها هو 1 − x . و بالتالي، فإن مربع نصف قطر Q هو

$x^{2}+y^{2}=(1-x)^{2},$

لذلك

$x={\tfrac {1}{2}}(1-y^{2}).$

مقياس نموذج نصف المستوى لبوانكاريه للهندسة الزائدية يحدد المسافة على الشعاع {(0، ي ) : y > 0 } بمقياس لوغاريتمي. دع المسافة الزائدية من (0، ي ) إلى (0، 1) كن ، لذا: log y − log 1 = a، لذا y = e ^a حيث e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي . و من ثم يمكن استنتاج العلاقة بين Φ و a من المثلث {( x , 0)، (0, 0)، (0, y )}، على سبيل المثال:

$\tan \phi ={\frac {y}{-x}}={\frac {2y}{y^{2}-1}}={\frac {2e^{a}}{e^{2a}-1}}={\frac {1}{\sinh a}}.$

مراجع

• مارفن جيه جرينبيرج (1974) الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية ، ص. 211 – 3، شركة دبليو إتش فريمان .
• روبن هارتشورن (1997) رفيق إقليدس ص. 319, 325، الجمعية الرياضية الأمريكية ،(ردمك 0821807978) .
• جيريمي جراي (1989) أفكار الفضاء: الإقليدية وغير الإقليدية والنسبية ، الطبعة الثانية، مطبعة كلارندون ، أكسفورد (انظر الصفحات من 113 إلى 118).
• بيلا كيريكارتو (1966) Les Fondements de la Géométry ، Tome Deux، §97.6 زاوية التوازي للهندسة الزائدية، ص 411،2، Akademiai Kiado، بودابست.