فرضية شينزل

في الرياضيات ، تعد فرضية شينزل واحدة من أشهر المسائل المفتوحة في موضوع نظرية الأعداد. وهي تعميم للعديد من الحدسيات المفتوحة على مثل حدسية الأعداد الأولية التوأم .سميت الفرضية على اسم أندريه شينزل.

الفرضية

تدعي الفرضية أن لكل مجموعة محدودة $\{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}\}$ من كثيرات الحدود الغير قابلة للاختزال على الأعداد الصحيحة ذات معاملات أولية موجبة ، ينطبق أحد الشروط التالية:

1. هناك عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة الموجبة $n$ بحيث أن كل من $f_{1}(n),f_{2}(n),\ldots ,f_{k}(n)$ هي أعداد أولية في نفس الوقت ، أو
2. هناك عدد صحيح $m>1$ (يسمى القاسم الثابت ) الذي يقسم الجداء $f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)$ دائمًا. (أو بشكل مكافئ: يوجد عدد أولي $p$ بحيث لكل $n$ هناك $i$ بحيث $p$ يقسم $f_{i}(n)$ ).

يتم استيفاء الشرط الثاني من خلال مجموعات مثل $f_{1}(x)=x+4,f_{2}(x)=x+7$ ، حيث $(x+4)(x+7)$ يقبل القسمة دائمًا على 2. من السهل أن نرى أن هذا الشرط يمنع الشرط الأول من أن يكون صحيحًا. تدعي فرضية شينزل بشكل أساسي أن الشرط 2 هو الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يفشل بها الشرط 1.

أمثلة

كمثال بسيط $k=1$ و

$x^{2}+1$

ليس له قاسم أولي ثابت. لذلك نتوقع وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية

$n^{2}+1$

هذا لم يثبت ، رغم ذلك. لقد كان أحد حدسيات لانداو ويعود إلى أويلر ، الذي لاحظ في رسالة إلى غولدباخ عام 1752 أن $n^{2}+1$ غالبًا ما يكون أولياً لـ $n$ حتى 1500.

كمثال آخر ، خذ $k=2$ مع $f_{1}(x)=x$ و $f_{2}(x)=x+2$ . تشير الفرضية بعد ذلك إلى وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التوأم ، وهي مسألة مفتوحة .

الآفاق والتطبيقات

ربما لا يمكن إثبات الفرضية بالطرق الحالية في نظرية الأعداد التحليلية ، ولكنها تستخدم الآن في كثير من الأحيان لإثبات النتائج الشرطية ، على سبيل المثال في هندسة ديوفانتين . هذا الارتباط يرجع إلى جان لويس كوليو تيلين وجان جاك سانسوك. لمزيد من التفسيرات والمراجع حول هذا الصدد ، انظر الملاحظات من بيتر سوينيرتون داير . نظرًا لكون الفرضية قوية جدًا بطبيعتها ، فمن الممكن أن تظهر أنها أكثر من اللازم لتوقعها.

مراجع

 

• Crandall، Richard؛ Pomerance، Carl B. (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective (ط. Second). New York: شبغنكا. DOI:10.1007/0-387-28979-8. ISBN:0-387-25282-7. MR:2156291. Zbl:1088.11001.
• Guy، Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (ط. Third). شبغنكا. ISBN:978-0-387-20860-2. Zbl:1058.11001.
• Pollack، Paul (2008). "An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field". في De Koninck، Jean-Marie؛ Granville، Andrew؛ Luca، Florian (المحررون). Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. Providence, RI: جمعية الرياضيات الأمريكية. ج. 46. ص. 259–273. ISBN:978-0-8218-4406-9. Zbl:1187.11046.
• Swan، R. G. (1962). "Factorization of Polynomials over Finite Fields". Pacific Journal of Mathematics. ج. 12 ع. 3: 1099–1106. DOI:10.2140/pjm.1962.12.1099. مؤرشف من الأصل في 2022-06-25.