قاسم (رياضيات)

  لمعانٍ أخرى، طالع قاسم (توضيح).

يكون العدد $b\neq 0$ قاسما أو أنه يقسم العدد $a\!$ إذا أمكن كتابة $a\!$ مضاعفا صحيحا للعدد $b\!$ أي ان $a=mb\!$ حيث يكون باقي قسمة $a\!$ على $b\!$ يساوي الصفر.

يرمز لهذه العلاقة بالرمز $|\!$، حيث $b|a\!$ تعني أن $b\!$ قاسم أو يقسم $a\!$.

مثال القواسم الموجبة للعدد 24 هي 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24

خصائص علاقة القاسم

• $a|b\wedge b|c\Rightarrow a|c$, إذن علاقة القسمة هي علاقة متعدية. وبتعبير لغوي، قاسم قاسمِ عدد ما، هو قاسمٌ لهذا العدد.
• $a|1\Rightarrow a=\pm 1$. العددان الوحيدان اللذان يقسمان الواحد هما الواحد وناقص واحد.
• $a|b\wedge b|a\Rightarrow a=\pm b$. إذا قسم عددان الواحد منهما الآخر، فإنهما متساويان أو متقابلان.
• $\forall b\neq 0\Rightarrow b|0$. جميع الأعداد اللائي يختلفن عن الصفر، يقسمنه.
• $b|g\wedge b|h\Rightarrow b|(mg+nh)$. إذا قسم عدد ما عددين ما، فإنه يقسم جميع تأليفات هذين العددين.

أمثلة

في الجبر التجريدي

يمدد مفهوم القاسم بشكل طبيعي إلى الحلقات. قابلية القسمة هي مفهوم مفيد يستعمل في تحليل بُنى الحلقات التبادلية نظرا إلى علاقتها ببنية المثالي لهؤلاء الحلقات.

لتكن R حلقة وليكن a و b عنصران من R. إذا وُجد عنصر x من R حيث ax = b، فإنه يقال عن العنصر a أنه قاسم للعنصر b من جهة اليسار، وأن b هو مضاعف ل a من جهة اليمين.

انظر إلى مضاعف (رياضيات) وإلى مجال تكاملي وإلى علاقة تكافؤ وإلى مجموعات متفارقة.

انظر أيضًا

• دالة حسابية
• قابلية القسمة
• دالة القواسم
• خوارزمية أقليدس
• أعداد نسبية
• جدول القواسم