من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في العلم الاكتواري قوة الوفيات هي محاولة الوصول إلى معدل فوري للوفيات لسن معين مقاسه على أساس سنوي . وهي مماثلة لمعدل الإخفاق , وتسمي في نظرية الموثوقية بدالة الخطر(Hazard function) .
الدافع والتعريف [ عدل ] في العلم الاكتواري , نعتبر احتمال وفاة أحد الأشخاص من سن x x + 1q x الاحتمال الشرطي للشخص الذي يبلغ x x x + Δx
P
x
(
Δ
x
)
=
P
(
x
<
X
<
x
+
Δ
x
∣
X
>
x
)
=
F
X
(
x
+
Δ
x
)
−
F
X
(
x
)
(
1
−
F
X
(
x
)
)
{\displaystyle P_{x}(\Delta x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}}
حيث (FX (x هي دالة التوزيع التراكمي لمتغيرات عشوائية في الحالات المستمرة . ويكون قوة الوفيات هو هذا الاحتمال مقسوما على Δx Δx
μ
(
x
)
{\displaystyle \mu (x)}
μ
(
x
)
=
F
X
′
(
x
)
1
−
F
X
(
x
)
{\displaystyle \mu \,(x)={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}}
وبما أن (f X x )=F 'X x فإنه يمكن التعبير عن قوة الوفيات بالعلاقة :
μ
(
x
)
=
f
X
(
x
)
1
−
F
X
(
x
)
=
−
S
′
(
x
)
S
(
x
)
=
−
d
d
x
ln
[
S
(
x
)
]
.
{\displaystyle \mu \,(x)={\frac {f_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}=-{\frac {S'(x)}{S(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln[S(x)].}
ولفهم كيفية عمل قوة الوفيات نعتبر العمر x f X x تساوي صفر فتكون العلاقة كالتالي:[1]
μ
(
x
)
S
(
x
)
=
f
X
(
x
)
{\displaystyle \,\mu (x)S(x)=f_{X}(x)}
أو بالشكل التالي
μ
(
x
)
=
f
X
(
x
)
S
(
x
)
.
{\displaystyle \mu (x)={\frac {f_{X}(x)}{S(x)}}.}
وفي كثير من الحالات , من الأفضل تحديد احتمال البقاء على قيد الحياة عندما تكون قوة الوفيات معلومة . وذلك عن طريق أن نكامل من الفترة x إلي الفترة x + t كما يلي :
∫
x
x
+
t
−
d
d
y
ln
[
S
(
y
)
]
d
y
{\displaystyle \int _{x}^{x+t}-{\frac {d}{dy}}\ln[S(y)]\,dy}
وباستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل . ويكون الاختصار كالتالي :
ln
[
S
(
x
+
t
)
]
−
ln
[
S
(
x
)
]
,
{\displaystyle \ln[S(x+t)]-\ln[S(x)],}
وبأخذ e للطرفين
S
(
x
+
t
)
S
(
x
)
=
S
x
(
t
)
.
{\displaystyle {\frac {S(x+t)}{S(x)}}=S_{x}(t).}
وبذلك يكون احتمال بقاء الفرد على قيد الحياة هو :
S
x
(
t
)
=
e
−
∫
x
x
+
t
μ
(
y
)
d
y
.
{\displaystyle S_{x}(t)=e^{-\int _{x}^{x+t}\mu (y)\,dy\,}.}
هذا المثال مأخوذ من.[2]
μ
(
y
)
=
A
+
B
c
y
for
y
⩾
0.
{\displaystyle \mu (y)=A+Bc^{y}\quad {\text{for }}y\geqslant 0.}
وباستخدام الصيغة الأخيرة نجد أن :
∫
x
x
+
t
A
+
B
c
y
d
y
=
A
t
+
B
(
c
x
+
t
−
c
x
)
/
ln
[
c
]
.
{\displaystyle \int _{x}^{x+t}A+Bc^{y}dy=At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c].}
و
S
x
(
t
)
=
e
−
(
A
t
+
B
(
c
x
+
t
−
c
x
)
/
ln
[
c
]
)
=
e
−
A
t
g
c
x
(
c
t
−
1
)
{\displaystyle S_{x}(t)=e^{-(At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c])}=e^{-At}g^{c^{x}(c^{t}-1)}}
حيث
g
=
e
−
B
/
ln
[
c
]
.
{\displaystyle g=e^{-B/\ln[c]}.}
انظر أيضًا [ عدل ] المصادر [ عدل ]
^ R. Cunningham, T. Herzog, R. London (2008). Models for Quantifying Risk, 3rd Edition, Actex.
^ Dickson, David C.M., Cambridge (2009). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks, First Edition, Cambridge University Press.
وصلات خارجية [ عدل ] 
![{\displaystyle \mu \,(x)={\frac {f_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}=-{\frac {S'(x)}{S(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln[S(x)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adea35ce556d6eeba23f55f141f6ce08d6ea27d2)
![{\displaystyle \int _{x}^{x+t}-{\frac {d}{dy}}\ln[S(y)]\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e13aa9ef0b92595dff81c2ed9794aad05465dcf)
![{\displaystyle \ln[S(x+t)]-\ln[S(x)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319ebb561bf35c08efda77182ecc917e13b86783)
![{\displaystyle \int _{x}^{x+t}A+Bc^{y}dy=At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd1c8700fcad1c8421017c193fccf27735ebd43)
![{\displaystyle S_{x}(t)=e^{-(At+B(c^{x+t}-c^{x})/\ln[c])}=e^{-At}g^{c^{x}(c^{t}-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33826e6da62cf932b1233e1ebe1525798c4e304b)
![{\displaystyle g=e^{-B/\ln[c]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58423df4f4cf14d84ca1116f854e911011a0275d)
