مبرهنة الفردية

نظرية الفردية لمعادلة بواسون هي نظرية تنص على أن المعادلة لها تدرج واحد فريد في مسائل القيم الحدية , وفي حالة الكهروستاتيكا إذا وجد حقل كهربائي يحقق الشروط الحدية , يكون هذا الحقل هو الحقل الكهربائي الكامل .

الإثبات

في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو

$\mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \varphi )=-4\pi \rho _{f}$

حيث

$\varphi$ هو الجهد الكهربائي .

$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi$ هو المجال الكهربي .

ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي .

نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما $\varphi _{1}$ و $\varphi _{2}$ , و $\phi$ هو الفرق بين قيمة الحلين $\phi =\varphi _{2}-\varphi _{1}$ .

وبما أن $\varphi _{1}$ و $\varphi _{2}$ تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها $\phi$ .

$\mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=0$

وباستخدام التعريف

$\nabla \cdot (\phi \epsilon \,\nabla \phi )=\epsilon \,(\nabla \phi )^{2}+\phi \nabla \cdot (\epsilon \,\nabla \phi )$

وعند الأخذ في الاعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

$\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}$

وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي :

$\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r}$

وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي :

$\sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r}$

حيث

$S_{i}$ هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية .

وبما أن

$\epsilon >0$ و $(\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\geq 0$

إذا

$\mathbf {\nabla } \phi$ يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان، وتكون $\mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}$ .

وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون

$\sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \,\mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =0$

بشرط أن يكون :

1. $\varphi$ معرفة على كل حدود السطح، وتكون $\varphi _{1}=\varphi _{2}$ , وبالتالي تصبح $\phi =0$ .
2. $\mathbf {\nabla } \varphi$ معرفة على كل حدود السطح، وتكون $\mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}$ , وبالتالي تصبح $\mathbf {\nabla } \phi =0$ .
3. أن تحقق $\mathbf {\nabla } \varphi$ قانون جاوس

انظر أيضا

• معادلة بواسون
• قانون جاوس
• قانون كولوم
• توافقات كروية
• سيمنز (وحدة)
• مطاوعة كهربائية