مبرهنة فارينيون (ميكانيكا)

مبرهنة فارينون (بالإنجليزية:Varignon Theorem) هي مبرهنة وضعها عالم الرياضيات الفرنسي بيير فارينيون (1654م-1722م)، نًشرت عام 1687م في كتابه "Projet d'une nouvelle mécanique". تنص المبرهنة على أن عزم القوة عند أي نقطة يكون مساويًا لمجموع العزوم لمركباتها عند النقطة نفسها.

الإثبات

في مجموعة $N$ من متجهات القوة $\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},...,\mathbf {f} _{N}$ التي تتفق في نقطة ما $\mathbf {O}$ في الفضاء. تكون محصلتها :

$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}$.

عزم الدوران لكل متجه فيما يتعلق بنقطة أخرى $\mathbf {O} _{1}$ هو :

$\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {f} _{i}$.

إضافة عزم الدوران وسحب العامل المشترك $(\mathbf {O} -\mathbf {O_{1}} )$ يرى المرء أن النتيجة يمكن التعبير عنها فقط من حيث $\mathbf {F}$, وهو في الواقع عزم الدوران $\mathbf {F}$ فيما يتعلق بهذه النقطة $\mathbf {O} _{1}$:

$\sum _{i=1}^{N}\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \left(\sum _{i=1}^{N}\mathbf {f} _{i}\right)=(\mathbf {O} -\mathbf {O} _{1})\times \mathbf {F} =\mathbf {\mathrm {T} } _{O_{1}}^{\mathbf {F} }$.

إثبات المبرهنة، أي مجموع عزم الدوران $\mathbf {O} _{1}$ هو نفس عزم الدوران لمجموع القوى حول نفس النقطة.

وصلات خارجية

• Varirgnon's Theorem at TheFreeDictionary.com
• Proof. Mechanics of Solids. S.S. Bhavikatti. (page 19)