مبرهنة ميلمان

مبرهنة ميلمان (بالإنجليزية: Millman's theorem)‏^[1] في الهندسة الكهربائية هي حالة خاصة لقانون العقد وهي مبرهنة تمكن من تحديد قيمة الجهد الكهربي عند عقدة تلتقي فيها مجموعة من الفروع على التوازي. سميت هذه المبرهنة نسبة للكهربائي الأمريكي جاكوب ميلمان.

نص المبرهنة

في دارة كهربائية مكونة من عدة فروع مركبة على التوازي، بحيث يتكون كل فرع من مولد توتر مثالي على التوالي مع عنصر خطي. الجهد الكهربائي الناتج عند العقدة هو مجموع جداءات كل جهد ومسامحة الفرع المتصل به، الكل مقسوم على مجموع المسامحات الكهربية.

$V_{M}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}E_{k}.Y_{k}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}Y_{k}}}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {E_{k}}{Z_{k}}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{Z_{k}}}}}$ .

نسمي $Y_{k}$ المسامحة الكهربائية وهي مقلوب المعاوقة الكهربائية $Z_{k}$ ، ( $Y_{k}={\frac {1}{Z_{k}}}$ ).

في حالة شبكة مكونة من مقاومات فقط:

$V_{M}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}E_{k}.G_{k}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}G_{k}}}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {E_{k}}{R_{k}}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{R_{k}}}}}$

يمكن أن نبين هذه المبرهنة باعتماد مبرهنة نوترون، بحيث يستبدل كل فرع بمولد نورتون المكافئ، وبالتالي فإن مجموع شدات التيار الصادرة عن كل المولدات تمر عبر مواصلة كهربائية تساوي مجموع مواصلات كل فرع. يمكن قانون أوم بالتالي من تحديد الجهد.

أمثلة

في الدائرة جانبه، تم حساب الجهد $V_{ab}$ حسب مبرهنة ميلمان:

$={\frac {{\dfrac {10}{5}}+{\dfrac {0}{8}}+{\dfrac {-12}{3}}}{{\dfrac {1}{5}}+{\dfrac {1}{8}}+{\dfrac {1}{3}}}}=-3V$ $V_{ab}={\frac {{\dfrac {V_{1}}{R_{1}}}+{\dfrac {V_{2}}{R_{2}}}+{\dfrac {V_{3}}{R_{3}}}}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{2}}}+{\dfrac {1}{R_{3}}}}}$