متباينة مينكوفسكي

في التحليل الرياضي، تنص متباينة مينكوفسكي( Minkowski inequality) على أن فضاءات L ^p هي متجهية معيارية . اترك $S$ ليكون مساحة قياس، و $1\leq p<\infty$ ثم $f$ و $g$ $L^{p}(S).$ ثم بعدها $f+g$ هو في $L^{p}(S),$ و لدينا متباينة المثلث $$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$$ مع التساوي ل $1<p<\infty$ إذا و فقط إذا كان $f$ و $g$ تعتمد بشكل خطي إيجابي؛ أي، $f=\lambda g$ لبعض $\lambda \geq 0$ أو $g=0.$$$\|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$$ و إذا$p<\infty ,$ أو في حالة $p=\infty$ بواسطة الحد الأقصى الأساسي $$\|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.$$

متباينة مينوفسكي هي متباينة المثلث في $L^{p}(S).$ إنها حالة خاصة للحقيقة الأكثر عمومية $$\|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$$ حيث أنه من الواضح جليا أن الجانب الأيمن يلبي المتباينة المثلثية.

كما هو الحال مع متباينة هولدر، تخصص متباينة مينكوفسكي للمتتاليات و المتجهات باستخدام مقياس العد : $${\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}$$ و ذلك لجميع الأعداد الحقيقية أو المركبة $x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}$ و عندما $n$ هي عددية $S$ أي عدد العناصر في $S$ .

المتباينة سميت على إسم عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي.

الأدلة

أولاً، نثبت أن $f+g$ له حد $p$ - القاعدة إذا $f$ و $g$ كلاهما يفعل ذلك، و الذي يتبعه $$|f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).$$ في الواقع، نستخدم هنا عادة حقيقة أن $h(x)=|x|^{p}$ محدبا على $\mathbb {R} ^{+}$ (ل $p>1$ ) و بالتالي، و وفقًا لتعريف التحدب، $$\left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.$$ مما يعني أن $$|f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.$$

الآن، يمكننا أن نتحدث بشكل منطقي عن $\|f+g\|_{p}.$ إذا كان صفرًا، فإن متباينة مينكوفسكي صحيحة. لنفترض الآن أن $\|f+g\|_{p}$ ليس صفرًا. باستخدام متباينة المثلث ثم متباينة هولدر، نجد أن:$${\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}$$

للحصول على متباينة مينكوفسكي يجب ضرب كلا الطرفين في $${\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.$$

متباينة مينكوفسكي المتكاملة

لفترض أن $(S_{1},\mu _{1})$ و $(S_{2},\mu _{2})$ هما مساحتان قياس منتهيتان 𝜎 و $F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R}$ قابلة للقياس. إذن ستكون متباينة مينكوفسكي التكاملية على الشكل: $$\left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}~\leq ~\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),$$ مع تعديلات واضحة في الخالة$p=\infty .$ لو $p>1,$ وكلا الجانبين محدودان، يتحقق التساوي فقط إذا $|F(x,y)|=\varphi (x)\,\psi (y)$ ae لبعض الدوال القابلة للقياس غير السلبي $\varphi$ و $\psi .$

إذا $\mu _{1}$ هو مقياس العد لمجموعة من نقطتين $S_{1}=\{1,2\},$ إذن فمتباينة مينكوفسكي التكاملية تعطي متباينة مينكوفسكي المعتادة كحالة خاصة: لوضع $f_{i}(y)=F(i,y)$ ل $i=1,2,$ التفاوت المتكامل سيعطي $$\|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.$$

إذا كانت الدالة قابلة للقياس$F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R}$ ليست سالبة إذن للجميع $1\leq p\leq q\leq \infty ,$ $$\left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .$$

و قد تم تعميم هذا الترميز على $$\|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}$$ ل $f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E,$ مع ${\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}.$ باستخدام هذا الترميز، يكشف التلاعب بالأسس أنه إذا $p<q,$ إذن $\|f\|_{q,p}\leq \|f\|_{p,q}.$

عكس عدم المساواة

$p<1$ فالتباين العكسي ينطبق على: $$\|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.$$

نحن بحاجة أيضًا إلى التقييد الذي يفرضه كل من $f$ و $g$ ليست سالبة كما يمكننا أن نلاحظ من المثال $f=-1,g=1$ و $p=1:$$\|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.$

تتبع المتباينة العكسية نفس الحجة التي تتبعها متباينة مينكوفسكي القياسية، لكنها تستخدم متباينة هولدر المعكوسة أيضًا في هذا النطاق

باستخدام متباينة مينكوفسكي العكسية، يمكننا إثبات أن متوسطات القوة مع p ≤ 1، مثل المتوسط التوافقي و الهندسي مقعرة.

التعميم على الوظائف الأخرى

تُعمم متباينة مينكوفسكي على وظائف أخرى $\phi (x)$ ما وراء دالة القدرة $x^{p}.$ التفاوت المعمم له الشكل التالي$$\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i})\right)\leq \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i})\right)+\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (y_{i})\right).$$

بشروط كافية مختلفة على $\phi$ تم العثور عليها بواسطة مولهولاند و آخرين. مثلا، بالنسبة لـ $x\geq 0$ مجموعة واحدة من الشروط الكافية من مولهولاند هي:

1. $\phi (x)$ مستمرة و متزايدة بشكل صارم مع $\phi (0)=0.$
2. $\phi (x)$ هي دالة محدبة لـ $x.$
3. $\log \phi (x)$ هي دالة محدبة لـ $\log(x).$