من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
إذا كانت
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0\,}
متسلسلة تايلور ، يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين . سميت السلسلة على اسم عالم الرياضيات الإسكتلندي كولين ماكلورين .[ 1]
إذا كانت الدالة الرياضية
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n
{\displaystyle n}
x
0
{\displaystyle {x}_{0}\!}
[ 2]
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
k
(
x
0
)
k
!
(
x
−
x
0
)
k
+
R
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)\!}
إذا عوضت
n
{\displaystyle n}
متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة
f
{\displaystyle f}
R
n
(
x
)
{\displaystyle R_{n}(x)\!}
x
{\displaystyle x}
[ 2] [ 3]
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
f
k
(
x
0
)
k
!
(
x
−
x
0
)
k
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}
أو
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
1
!
(
x
−
x
0
)
+
f
″
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots }
إذا كانت
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0\,}
[ 4]
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
1
!
(
x
)
+
f
″
(
0
)
2
!
(
x
)
2
+
f
(
3
)
(
0
)
3
!
(
x
)
3
+
⋯
{\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}(x)+{\frac {f''(0)}{2!}}(x)^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}(x)^{3}+\cdots }
e
x
=
1
+
x
1
!
+
x
2
2
!
+
…
{\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\dots }
sin
(
x
)
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
…
{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots }
cos
(
x
)
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
…
{\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots }
ln
(
x
+
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
x
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+
⋯
.
{\displaystyle \ln(x+1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots .}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
…
{\displaystyle {\cosh x=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\left({2n}\right)!}}}={1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}+{{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots }}
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
…
{\displaystyle {\sinh x=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{\left({2n+1}\right)!}}}={x+{\frac {x^{3}}{3!}}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots }}
^ I. Bronstein, K. Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik . Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 3-8171-2006-0 , S. 434.
^ ا ب Rudin, Walter (1980), Real and Complex Analysis (بالإنجليزية), New Dehli: McGraw-Hill, p. 418, Exercise 13, ISBN :0-07-099557-5 ^ Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1957), Functional analysis and semi-groups , AMS Colloquium Publications (بالإنجليزية), American Mathematical Society, vol. 31, pp. 300–327^ Weisstein, Eric W. "Maclaurin Series" . mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2020-11-30. Retrieved 2020-11-30 .
