متفاوتة بطليموس

متفاوتة بطليموس تهم المسافات بين أربع نقط من فضاء تآلفي إقليدي.

نص المتفاوتة

متفاوتة بطليموس - لتكن A و B و C و D أربع نقط في فضاء تآلفي إقليدي. إذن،

$AB.CD\leq AC.BD+AD.BC$

تستنتج هذه المتفاوتة مباشرة من المتفاوتة المثلثية بالتفاف.

البرهان

لتكن d c b المتجهات AC AB و AD.

حساب فوري يعطي:

${\left\|{\frac {b}{\|b\|^{2}}}-{\frac {c}{\|c\|^{2}}}\right\|}^{2}={\frac {1}{\|b\|^{2}}}-2{\frac {<b|c>}{\|b\|^{2}\|c\|^{2}}}+{\frac {1}{\|c\|^{2}}}={\frac {\|b-c\|^{2}}{\|b\|^{2}\|c\|^{2}}}$

$\left\|{\frac {b}{\|b\|^{2}}}-{\frac {c}{\|c\|^{2}}}\right\|={\frac {\|b-c\|}{\|b\|.\|c\|}}$

لنطبق المتفاوتة المثلثية ل${\frac {b}{\lVert b\rVert ^{2}}}$ ،${\frac {c}{\lVert c\rVert ^{2}}}$ ،${\frac {d}{\lVert d\rVert ^{2}}}$:

${\frac {\lVert d-c\rVert }{{\lVert c\rVert }.{\lVert d\rVert }}}\leq {\frac {\lVert d-b\rVert }{{\lVert b\rVert }.{\lVert d\rVert }}}+{\frac {\lVert b-c\rVert }{{\lVert b\rVert }.{\lVert c\rVert }}}$

لنضرب هذه المتفاوتة ب$:{{\lVert b\rVert }.{\lVert c\rVert }.{\lVert d\rVert }}$

${\lVert b\rVert }.{\lVert d-c\rVert }\leq {\lVert c\rVert }.{\lVert d-b\rVert }+{\lVert d\rVert }.{\lVert b-c\rVert }$

و منه المتفاوتة المطلوبة !