مستخدم:Ali Assem/مسودة المقالة

مُقَدِّمَة :

عِوَضاًعن أن تبـدأ المقالة بِتعريف لما يسـمـى بـ"التَّحْليـلِ الدَّالِّي " ، سـوف تـسلـك المقـالة طـريقاً ذا طبيـعة تأريخيـة لبعض الأفكارِ والنتـائج الرِياضيــة والمحـاولات غير المكتـملة التى تزامن تجمعها حول نواة مشتركة من التساؤلات ؛ و في تلك اللحظة من الإدراك صارت هذه النواة بِحَدِّ ذاتِها موضوعاً رِياضياً بَحثياً مستقلاً داخليـاً ، ولكنه يقف - وبشكــل شبــه كامـل - لخدمة العديد من المسائل الرِياضية التطبيقية .

نُبْذَة تاريخيَّة :

في أواخـر القرن التاسع عشر - بصورة مصاحبة للدراسات المتعلقة بالمعادلات التكاملية - ظهرت المفاهيم التى ستجتمع فيما بعد تحت اسم التحليـل الدالى ، و في بدايات القرن العشرين أخذت تعريفات الفراغات و المؤثرات صورتها الحالية في ظل التوجـه السائد في تلك الفترة نحو التجريـد ، وكذا التوجه نحو نظـام يعتمد على المسلمات "Axiomatic" أسهم أيضاً في تأسيس صياغة مجردة للجبر الخطى ؛ و من أجل إدراك التوجه الفكرى الذى أدى إلى ظهور التحليل الدالى من الجيد رسم صورة عن تطور الجبـر الخـطى خلال القرن التاسع عشـر ، فحتى بداية العقد الرابع من ذلك القرن تمثل الجبـر الخطى في دراسة النـظم المنتـهية من المعادلات الخطية ذات المعاملات الحـقيقية أو المركبة .

الآن سنوضح - ودون التعمق المطلوب - الارتباط بين المعادلات التكاملية والنظم اللانهائية من المعادلات الخطية، ولنبدا بالمعادلة $g(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}k(x,y)f(y)dy$ حيث $k$ متصلة على $[a,b]\times [a,b]$ و$g$متصلة على$[a,b]$ و $\lambda$ بارامتر من مجموعة الاعداد المركبة وبمعلومية $k$ و $g$ نحاول إيجاد $f$ ؛ و بعمل تقسيم للفترة $[a,b]$ حيث $y_{k}=a+k({\frac {a-b}{n}})$ و ($1\leq k\leq n$) واستبدال التكامل المحدد بتجميع ريمان المناظر للتقسيم نحصل على النظام الاّتى المكون من n معادلة خطية في n مجهول $f(y_{j})$ :

$f(y_{j})+\lambda ({\frac {a-b}{n}})\Sigma _{k=1}^{n}k(y_{k},y_{j})f(y_{k})=g(y_{j})$ حيث ($1\leq j\leq n$)

و التساؤل الآن هل الحل المنتهى(عند n) يؤول إِلى حل المعادلة التكاملية المذكورة عندما $\rightarrow \infty$ n .

وفى هذا السياق يمكن تعقـب بداية التحليـل الدالى إلى جهـود الرياضى والفيزيائى الإيطـالى " ڤيتو ڤولتيـرا Vito Volterra " ، فقط في البداية نشير إلى مفهـوم " المؤثـرات Operators " و هى دوال عامة (استعمال كلمة "عامة" هنا للملائمة التاريخية ففى ذلك الوقت وقبل صياغة " كانتور Cantor " لنظرية المجموعات لم تكن الدوال بشكلها المتداول اليوم f: A$\longrightarrow$B حيث A،B أى فئتين بل كانت قاصرة على مجموعات الأعداد . ) مجالها (وأحياناً مداها) مجموعة من الدوال ، وأبسط مثال هو مؤثر الاشتقاق ؛ و على وجه الخصوص تسمى المؤثرات التي يقع مداها في مجموعة الأعداد الحـقيقية ${\mbox{ }}\mathbb {R} {\mbox{ }}$ أو المركبة ${\mbox{ }}\mathbb {C} {\mbox{ }}$ بـ " الدالِّيات Functionals " . في عام ١٨٩٦ ، و في أحد أبحاثه ، بدأ ڤولتيرا باعتبار المؤثر الذى ينقل كل دالة متصلة${\mbox{ }}f{\mbox{ }}$ إلى دالة ${\mbox{ }}\varphi {\mbox{ }}$ متصلة و تمثل حلاً للمعادلة التكاملية

$f(x)=\varphi (x)-\int _{a}^{x}k(x,y)\varphi (y)dy$ حيث ${\mbox{ }}k{\mbox{ }}$ متصلة .

الآن بتعريف ${\mbox{ }}I\varphi =\varphi {\mbox{ }}$ و ${\mbox{ }}(K\varphi )(x)=\int _{a}^{x}k(x,y)\varphi (y)dy{\mbox{ }}$ ، أثبت ڤولتيرا أن ${\mbox{ }}\varphi {\mbox{ }}$ تعطى بالعلاقة

$\varphi =(I-k)^{-1}f=f+Kf+K^{2}f+\cdots$

حيث $K^{n}f=K(K^{n-1}f){\mbox{ }}$ .

استكمل هذه المجهودات كلاً من الرياضى السويدى " إريك إيڤار فريدهولم Erik Ivar Fredholm " والرياضى الألمانى " داڤيد هيلبرت David Hilbert " خلال العقد الاول من القرن العشرين ، وجدير بالذكر هنا أن هيلبرت - وخلال هذه الدراسة المتعلقة بالمعادلات التكاملية - اهتم بالدور الذى تلعبه مجموعة المتتابعات الحـقيقية (سنرمز للمتتابعات بالرمز ${\mbox{ }}\{x_{n}\}{}$ ) التى تحقق ${\mbox{ }}\Sigma _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}{\mbox{ }}$ ، هذه المجموعة ستعرف فيما بعد بالفراغ $\ell _{2}$ .

نَظَرِيَّة هَان - بَنَاخْ (١٩٢٩) / (1929) Hahn - Banach Theorem :

ليكــن $\quad X\quad$ فراغــاً اتجاهيــاً على الحـقــل $\quad \mathbb {R} \quad$ و $\quad p\quad \quad$ هى دالِّـيـة تحت خطِّـيـة على $\quad X\quad$ ، و لتكـن $\quad f\quad \quad$ دالِّيَّة خطِّيَّة مُعرَّفــة عـلى فـراغٍ اتجــاهىٍ جـزئـىّ $\quad \quad X\supset Z\quad \quad$بحـيـث يكـون

(١). . . . . $\quad \quad f(x)\leq p(x)\quad \quad \quad \quad$ لكــل $Z\ni x\quad \quad$

إذن توجـد دالِّيَّة خطِّيَّة $\quad \quad {\tilde {f}}\quad \quad$ تُمثل امتــداداً لـ $\quad \quad f\quad \quad$ على كل الفـراغ $\quad X\quad$ بحيث يكون

(٢). . . . . $\quad \quad {\tilde {f}}(x)\leq p(x)\quad \quad \quad \quad$ لكــل $X\ni x\quad \quad$ .

أى أن $\quad \quad {\tilde {f}}\quad \quad$ هى دالِّيَّة خطِّيَّة على $\quad \quad X\quad$ تُحقــق (٢) و $\quad \quad {\tilde {f}}(x)=f(x)\quad \quad$ لكل $Z\ni x\quad \quad$ .

نَظَرِيَّة المحدودية المنتظمة Uniform Boundedness Theorem :

لتكن ${\mbox{ }}\{T_{n}\}{\mbox{ }}$ متتابعة من المؤثرات الخطية المحدودة ${\mbox{ }}T_{n}:X\longrightarrow Y{\mbox{ }}$ من فراغ بناخى ${\mbox{ }}X{\mbox{ }}$ إلى فراغ معير (نظيم) ${\mbox{ }}Y{\mbox{ }}$ بحيث تكون المتتابعة ${\mbox{ }}\{\|T_{n}x\|\}{}$ متتابعة محدودة لكل ${\mbox{ }}X\ni x{\mbox{ }}$ ،عندئذ ستكون المتتابعة ${\mbox{ }}\{\|T_{n}\|\}{}$ أيضاً محدودة .

نَظَرِيَّة الصورة المغلقة Closed Graph Theorem :

بفرض أن ${\mbox{ }}X{\mbox{ }}$ و ${\mbox{ }}Y{\mbox{ }}$ فراغان بناخيان و ${\mbox{ }}T:{\mathfrak {D}}(T)\longrightarrow Y{\mbox{ }}$ هو مؤثر خطى مغلق ، فإذا كان ${\mbox{ }}{\mathfrak {D}}(T){\mbox{ }}$ يمثل مجموعة مغلقة في ${\mbox{ }}X{\mbox{ }}$ فإن المؤثر ${\mbox{ }}T{\mbox{ }}$ مؤثر محدود .