مستخدم:Nadhem2/الاحداثيات القانونية

في الرياضيات والميكانيكا الكلاسيكية ، الإحداثيات القانونية هي فئات من الإحداثيات في فضاء الطور والتي يمكن استخدامها لوصف نظام مادي في أي نقطة زمنية معينة. تُستخدم الإحداثيات القانونية في الصياغة الهاميلتونية للميكانيكا الكلاسيكية . ويظهر مفهوم وثيق الصلة بها أيضاً في ميكانيكا الكم ؛ راجع نظرية ستون - فون نيومان وعلاقات التبديل القانوني للحصول على التفاصيل.

نظراً لامكانية تعميم ميكانيكا هاملتون من خلال الهندسة التماسكية وتعميم التحويلات القانونية من خلال تحويلات التماس، فإنه يمكن تعميم تعريف القرن التاسع عشر للإحداثيات القانونية في الميكانيكا الكلاسيكية إلى تعريف القرن العشرين الأكثر تجريدية للإحداثيات على حزمة ظل التمام لمتنوع أو منطوٍ (المفهوم الرياضي لفضاء الطور).

التعريف في الميكانيكا الكلاسيكية

في الميكانيكا الكلاسيكية ، <b id="mwHA">الإحداثيات</b> <b id="mwHA">القانونية</b> هي إحداثيات $q^{i}$ و $p_{i}$ في فضاء الطور المستخدم في صياغة هاملتون . الإحداثيات القانونية تحقق علاقات قوس بواسون الأساسية:

$\left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}$

والمثال النموذجي للإحداثيات القانونية هو أن تكون $q^{i}$ الإحداثيات الديكارتية المعتادة ، وتكون $p_{i}$ مركبات الزخم . ومن ثم بشكل عام، فإن الإحداثيات $p_{i}$ يُشار إليها باسم "العزم المرافق".

يمكن الحصول على <b id="mwHA">الإحداثيات القانونية</b> من الإحداثيات المعممة لصياغة لاغرانج عن طريق تحويل ليجاندر ، أو من فئة أخرى من الإحداثيات <a href="./التحول الكنسي" rel="mw:WikiLink" data-linkid="413" data-cx="{&amp;quot;adapted&amp;quot;:false,&amp;quot;sourceTitle&amp;quot;:{&amp;quot;title&amp;quot;:&amp;quot;Canonical transformation&amp;quot;,&amp;quot;description&amp;quot;:&amp;quot;Coordinate transformation that preserves the form of Hamilton's equations&amp;quot;,&amp;quot;pageprops&amp;quot;:{&amp;quot;wikibase_item&amp;quot;:&amp;quot;Q1366892&amp;quot;},&amp;quot;pagelanguage&amp;quot;:&amp;quot;en&amp;quot;},&amp;quot;targetFrom&amp;quot;:&amp;quot;mt&amp;quot;}" class="cx-link" id="mwLw" title="التحول الكنسي">القانونية</a> عن طريق التحويلات <a href="./التحول الكنسي" rel="mw:WikiLink" data-linkid="393" data-cx="{&amp;quot;adapted&amp;quot;:false,&amp;quot;sourceTitle&amp;quot;:{&amp;quot;title&amp;quot;:&amp;quot;Canonical transformation&amp;quot;,&amp;quot;description&amp;quot;:&amp;quot;Coordinate transformation that preserves the form of Hamilton's equations&amp;quot;,&amp;quot;pageprops&amp;quot;:{&amp;quot;wikibase_item&amp;quot;:&amp;quot;Q1366892&amp;quot;},&amp;quot;pagelanguage&amp;quot;:&amp;quot;en&amp;quot;},&amp;quot;targetFrom&amp;quot;:&amp;quot;mt&amp;quot;}" class="cx-link" id="mwFQ" title="التحول الكنسي">القانونية</a> .

تعريف حزم ظل التمام

تُعرَّف الإحداثيات<a href="./التحول الكنسي" rel="mw:WikiLink" data-linkid="413" data-cx="{&amp;quot;adapted&amp;quot;:false,&amp;quot;sourceTitle&amp;quot;:{&amp;quot;title&amp;quot;:&amp;quot;Canonical transformation&amp;quot;,&amp;quot;description&amp;quot;:&amp;quot;Coordinate transformation that preserves the form of Hamilton's equations&amp;quot;,&amp;quot;pageprops&amp;quot;:{&amp;quot;wikibase_item&amp;quot;:&amp;quot;Q1366892&amp;quot;},&amp;quot;pagelanguage&amp;quot;:&amp;quot;en&amp;quot;},&amp;quot;targetFrom&amp;quot;:&amp;quot;mt&amp;quot;}" class="cx-link" id="mwLw" title="التحول الكنسي">القانونية</a> بأنها مجموعة خاصة من الإحداثيات على حزمة ظل التمام لمتنوع . عادة ما يتم كتابتها كمجموعة من $\left(q^{i},p_{j}\right)$ أو $\left(x^{i},p_{j}\right)$ حيث تشير x's أو q's إلى الإحداثيات ' للمتنوع الأساسي ' p تشير إلى الزخم المرافق ، والتي هي أشكال 1 في حزمة ظل عند النقطة q في المتنوع.

التعريف الشائع <a href="./التحول الكنسي" rel="mw:WikiLink" data-linkid="413" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false,&quot;sourceTitle&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Canonical transformation&quot;,&quot;description&quot;:&quot;Coordinate transformation that preserves the form of Hamilton's equations&quot;,&quot;pageprops&quot;:{&quot;wikibase_item&quot;:&quot;Q1366892&quot;},&quot;pagelanguage&quot;:&quot;en&quot;},&quot;targetFrom&quot;:&quot;mt&quot;}" class="cx-link" id="mwLw" title="التحول الكنسي">للإحداثيات القانونية</a> هو أي مجموعة من الإحداثيات على حزمة ظل التمام تسمح بكتابة النموذج الواحد المتعارف عليه في الشكل

$\sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}$

الى أن يصل إلى تفاضل كلي. تغيير الإحداثيات التي تحافظ على هذا النموذج هو تحويل <a href="./التحول الكنسي" rel="mw:WikiLink" data-linkid="393" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false,&quot;sourceTitle&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Canonical transformation&quot;,&quot;description&quot;:&quot;Coordinate transformation that preserves the form of Hamilton's equations&quot;,&quot;pageprops&quot;:{&quot;wikibase_item&quot;:&quot;Q1366892&quot;},&quot;pagelanguage&quot;:&quot;en&quot;},&quot;targetFrom&quot;:&quot;mt&quot;}" class="cx-link" id="mwFQ" title="التحول الكنسي"><a href="./التحول الكنسي" rel="mw:WikiLink" data-linkid="413" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false,&quot;sourceTitle&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Canonical transformation&quot;,&quot;description&quot;:&quot;Coordinate transformation that preserves the form of Hamilton's equations&quot;,&quot;pageprops&quot;:{&quot;wikibase_item&quot;:&quot;Q1366892&quot;},&quot;pagelanguage&quot;:&quot;en&quot;},&quot;targetFrom&quot;:&quot;mt&quot;}" class="cx-link" id="mwLw" title="التحول الكنسي">قانوني</a></a> ؛ هذه حالة خاصة من التشابه ، والتي هي في الأساس تغيير في الإحداثيات على تنوع تماسكي .

في العرض التالي ، نفترض أن المتنوعات عبارة عن متنوعات حقيقية ، بحيث تنتج متجهات ظل التمام التي تعمل على متجهات الظل أعداداً حقيقية.

التطوير الرسمي

بالنظر إلى متنوع Q ، يمكن اعتبار مجال المتجه X على Q ( جزء من حزمة الظل TQ ) كدالة تعمل على حزمة ظل التمام ، من خلال الازدواجية بين فضاءات المماس وظل التمام. أي يعرف دالة

$P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R}$

بحيث أن

$P_{X}(q,p)=p(X_{q})$

يصح لجميع متجهات التمام p في $T_{q}^{*}Q$ . هنا، $X_{q}$ هو متجه في $T_{q}Q$ ، فضاء المماس للمتنوع Q عند النقطة q . الدالة $P_{X}$ تسمى دالة الزخم المقابلة لـ X

في الإحداثيات المحلية ، يمكن كتابة مجال المتجه X عند النقطة q كـما يلي

$X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$

حيث أن ال $\partial /\partial q^{i}$ هي إطار الإحداثيات على TQ . ثم يكون للزخم المرافق التعبير التالي

$P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$

حيث أن ال $p_{i}$ تُعرف على أنها دوال الزخم المناظرة للمتجهات $\partial /\partial q^{i}$ :

$p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}$

وتشكل ال $q^{i}$ جنبا إلى جنب مع $p_{j}$ معاً نظام إحداثيات على حزمة ظل التمام $T^{*}Q$ ؛ تسمى هذه الإحداثيات بالإحداثيات <a href="./التحول الكنسي" rel="mw:WikiLink" data-linkid="413" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false,&quot;sourceTitle&quot;:{&quot;title&quot;:&quot;Canonical transformation&quot;,&quot;description&quot;:&quot;Coordinate transformation that preserves the form of Hamilton's equations&quot;,&quot;pageprops&quot;:{&quot;wikibase_item&quot;:&quot;Q1366892&quot;},&quot;pagelanguage&quot;:&quot;en&quot;},&quot;targetFrom&quot;:&quot;mt&quot;}" class="cx-link" id="mwLw" title="التحول الكنسي">القانونية</a> .

إحداثيات معممة

في ميكانيكا لاغرانج، تستخدم مجموعة مختلفة من الإحداثيات، تسمى الإحداثيات المعممة. يشار إليها عادة بالرموز$\left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)$ حيث $q^{i}$ يسمى الموضع المعمم و ${\dot {q}}^{i}$ السرعة المعممة. عندما يُعرف الهاميلتوني على حزمة ظل التمام، فإن الإحداثيات المعممة ترتبط بالإحداثيات القانونية عن طريق معادلات هاملتون-جاكوبي.

أنظر أيضا

• التحليل التمييزي الخطي
• مشعب عاطفي
• مجال ناقلات عاطفية
• الانعكاس
• الزخم الحركي
• التكامل (فيزياء)

مراجع

• Goldstein، Herbert؛ Poole، Charles P., Jr.؛ Safko، John L. (2002). Classical Mechanics (ط. 3rd). San Francisco: Addison Wesley. ص. 347–349. ISBN:0-201-65702-3.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link)
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London (ردمك 0-8053-0102-X) See section 3.2.

[[تصنيف:أنظمة إحداثيات]] [[تصنيف:ميكانيك لاغرانج]] [[تصنيف:ميكانيك هاملتوني]] [[تصنيف:هندسة تماسكية]] [[تصنيف:طوبولوجيا تفاضلية]]