من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في الجبر الخطي ، نقول عن المصفوفة
M
{\displaystyle \,M}
n
×
n
{\displaystyle \,n\times n\,}
z
T
M
z
{\displaystyle \,z^{\mathrm {T} }Mz}
z
{\displaystyle \,z}
n
{\displaystyle \,n}
[ 1]
z
T
{\displaystyle \,z^{\mathrm {T} }}
z
{\displaystyle \,z}
I
=
[
1
0
0
1
]
{\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
هي مصفوفة معرفة موجبة حيث أنها مصفوفة حقيقية ومتناظرة ولأجل كل شعاع
z
{\displaystyle \,z}
a
,
b
{\displaystyle \,a,b}
z
T
I
z
=
[
a
b
]
[
1
0
0
1
]
[
a
b
]
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle z^{\mathrm {T} }Iz={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}}
الناتج عبارة عن مجموع من المربعات وليس سالب
المصفوفة المتناظرة الحقيقية التالية:
M
=
[
2
−
1
0
−
1
2
−
1
0
−
1
2
]
{\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}
هي مصفوفة معرفة موجبة حيث أنه لأجل كل شعاع
z
{\displaystyle \,z}
a
,
b
{\displaystyle \,a,b}
z
T
M
z
=
(
z
T
M
)
z
=
[
(
2
a
−
b
)
(
−
a
+
2
b
−
c
)
(
−
b
+
2
c
)
]
[
a
b
c
]
=
2
a
2
−
2
a
b
+
2
b
2
−
2
b
c
+
2
c
2
=
a
2
+
(
a
−
b
)
2
+
(
b
−
c
)
2
+
c
2
{\displaystyle {\begin{aligned}z^{\mathrm {T} }Mz=(z^{\mathrm {T} }M)z&={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=2{a}^{2}-2ab+2{b}^{2}-2bc+2{c}^{2}\\&={a}^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+{c}^{2}\end{aligned}}}
الناتج عبارة عن مجموع من المربعات وليس سالب
المصفوفة الحقيقية التالية
N
=
[
1
2
2
1
]
{\displaystyle N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}}
هي ليست معرفة موجبة. مثلا من أجل الشعاع
z
{\displaystyle \,z}
[
−
1
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}}
فإنه
z
T
N
z
=
[
−
1
1
]
[
1
2
2
1
]
[
−
1
1
]
=
[
−
1
1
]
[
1
−
1
]
=
−
2
<
0.
{\displaystyle z^{\mathrm {T} }Nz={\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=-2<0.}
من أهم خواص المصفوفة المعرفة الموجبة هي أن كل القيم الذاتية لها هي قيم موجبة 
