مضلع منتظم

في الهندسة الإقليدية، المضلع المنتظم (بالإنجليزية: Regular polygon)‏ هو كل مضلع بسيط جميع زواياه متساوية في القياس.^[1]^[2]^[3] من الممكن أن يكون المضلع المنتظم محدباً أو نجمياً، النجمة الخماسية مثالا.

كون أضلاع متعدد أضلاع متساويةً في القياس لا يجعمل منه متعدد أضلاع منتظم، بل يجعل منه مضلعا متساوي الأضلاع. الصنفان مختلفان. المعين على سبيل المثال، هو رباعي أضلاع متساوي الأضلاع وليس بمضلع منتظم.

خصائص عامة

هذه الخصائص تنطبق على المضلعات المحدبة والنجمية:

جميع رؤوس المضلع المنتظم تقع على محيط دائرة تسمى دائرة محيطة. بتعبير آخر، إنهن تشتركن في دائرة. وبتعبير ثالث، المضلع المنتظم هو مضلع دائري.
قياس أي زاوية داخلية في مضلع منتظم ذي n ضلعاً هو: $(n-2)\times 180^{\circ } \over n\!$
لكل مضلع منتظم دائرة محاطة داخله تمس مضلعاته في منتصفاتهن. المضلع المنتظم هو مضلع مماسي.
من الممكن إنشاء مضلع منتظم له n ضلع باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة إذا وفقط إذا كانت عوامل عدد أضلاعه الفردية والأولية هي أعداد فيرما. انظر إلى مضلع قابل للإنشاء.
للمضلع المنتظم عدد أضلاعه يساوي n تناظر دوراني من الرتبة .

التماثل

انظر إلى زمرة التماثل.

المضلعات المنتظمة المحدبة

الزوايا

عدد الأضلاع	قياس الزاوية الداخلية	مجموع قياسات الزوايا الداخلية
$n$	$(n-2)\times 180^{\circ } \over n\!$	$(n-2)\times 180^{\circ }\!$
$1$	$-180^{\circ }$	$-180^{\circ }$
$2$	$0^{\circ }$	$0^{\circ }$
$3$	$60^{\circ }$	$180^{\circ }$
$4$	$90^{\circ }$	$360^{\circ }$
$5$	$108^{\circ }$	$540^{\circ }$
$6$	$120^{\circ }$	$720^{\circ }$
$7$	$900^{\circ } \over 7$	$900^{\circ }$
$8$	$135^{\circ }$	$1080^{\circ }$
$9$	$140^{\circ }$	$1260^{\circ }$
10	$144^{\circ }$	$1440^{\circ }$

الأقطار

من أجل n>2، عدد الأقطار هو ${\frac {n(n-3)}{2}}$ ، يمكن رسم $n-3$ قطر من كل رأس، تقسم الأقطار من الرأس الواحد المضلع إلى $n-2$ مثلث.

المساحة

عدد الأضلع	المساحة عندما يساوي الضلع واحدا s=1		المساحة عندما يساوي شعاع الدائرة المحيطة واحدا R=1			المساحة عندما تساوي المسافة الفاصلة بين مركز المضلع وأحد أضلعه واحدا a=1
عدد الأضلع	قيمة دقيقة	قيمة مقربة	قيمة دقيقة	قيمة مقربة	Approximate as fraction of circumcircle area	قيمة دقيقة	قيمة مقربة	Approximate as fraction of incircle area
n	${\tfrac {n}{4}}\cot {\tfrac {\pi }{n}}$		${\tfrac {n}{2}}\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$		${\tfrac {n}{2\pi }}\sin {\tfrac {2\pi }{n}}$	$n\tan {\tfrac {\pi }{n}}$		${\tfrac {n}{\pi }}\tan {\tfrac {\pi }{n}}$
3	$\sqrt 3 /4$	0.433012702	$3 \sqrt 3 /4$	1.299038105	0.4134966714	$3 \sqrt 3$	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0.6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	$1/4 \sqrt 25+10 \sqrt 5$	1.720477401	$5/4 \sqrt (5+ \sqrt 5)/2$	2.377641291	0.7568267288	$5 \sqrt 5-2 \sqrt 5$	3.632712640	1.156328347
6	$3 \sqrt 3 /2$	2.598076211	$3 \sqrt 3 /2$	2.598076211	0.8269933428	$2 \sqrt 3$	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0.8710264157		3.371022333	1.073029735
8	$2+2 \sqrt 2$	4.828427125	$2 \sqrt 2$	2.828427125	0.9003163160	$8(\sqrt 2 -1)$	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0.9207254290		3.275732109	1.042697914
10	$5/2 \sqrt 5+2 \sqrt 5$	7.694208843	$5/2 \sqrt (5- \sqrt 5)/2$	2.938926262	0.9354892840	$2 \sqrt 25-10 \sqrt 5$	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0.9465022440		3.229891423	1.028106371
12	$6+3 \sqrt 3$	11.19615242	3	3.000000000	0.9549296586	$12(2- \sqrt 3)$	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0.9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0.9667663859		3.195408642	1.017130161
15		17.64236291		3.050524822	0.9710122088		3.188348426	1.014882824
16	$4 (1+ \sqrt 2 + \sqrt 2 (2+ \sqrt 2))$	20.10935797	$4 \sqrt 2- \sqrt 2$	3.061467460	0.9744953584	$16 (1+ \sqrt 2)(\sqrt 2 (2- \sqrt 2) -1)$	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0.9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0.9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0.9818729854		3.170539238	1.009213984
20	$5 (1+ \sqrt 5 + \sqrt 5+2 \sqrt 5)$	31.56875757	$5/2 (\sqrt 5 -1)$	3.090169944	0.9836316430	$20 (1+ \sqrt 5 - \sqrt 5+2 \sqrt 5)$	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0.9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0.9999934200		3.141602989	1.000003290
10,000		7957746.893		3.141592448	0.9999999345		3.141592757	1.000000033
1,000,000		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

المضلعات القابلة للإنشاء

بعض المضلعات المنتظمة قابلة للإنشاء بالمسطرة والفرجار بسهولة وبعضها غير قابل للإنشاء بالمسطرة والفرجار بتاتا، سباعي الأضلع مثالا.

علم علماء الرياضيات الإغريق كيفية إنشاء مضلعات منتظمة عدد أضلاعهن الثلاثة والأربعة والخمسة، كما علموا إنشاء مضلع منتظم عدد أضلاعه ضعف عدد أضلاع مضلع منتظم معلوم. أدى بهم ذلك إلى طرح السؤال التالي:

هل جميع المضلعات المنتظمة قابلة للإنشاء مهما كان عدد أضلاعهن ؟ وإذا كان الجواب بالنفي، فما هن المضلعات القابلة للإنشاء وما هن المضلعات غير ذلك ؟

في عام 1796، برهن كارل فريدريش غاوس على قابلية إنشاء مضلع منتظم عدد أضلاعه سبعة عشر. بعد ذلك بخمس سنوات طور نظرية المعروفة باسم الدورة الغاوسية في كتابه استفسارات حسابية. هذه النظرية مكنته من إعطاء شرط كاف لقابلية الإنشاء وهو كما يلي:

يكون مضلع منتظم عدد أضلاعه يساوي n قابلا للإنشاء بالفرجار والمسطرة إذا كان عدد أضلاعه هذا جداءا لقوة ما لاثنين من جهة وعدد معين من أعداد فيرما الأولية، مختلفةً عن بعضها البعض من جهة ثانية (بما في ذلك الحالة حيث يكون عددهن مساويا للصفر).

على سبيل المثال، 17 هو عدد أولي لفيرما، 1 هو قوة لاثنين من الدرجة الصفر. هذا جعل مضلعا منتظما عدد أضلاعه سبعة عشر قابلا للإنشاء.

على سبيل المثال الثاني، 8 هو قوة لاثنين من الدرجة الثالثة. هذا يجعل من ثماني أضلاع منتظم قابلا للاإنشاء بالمسطرة والبركار (الحالة حيث يكون عدد أعداد فيرما الأولية في الجداء المذكور أعلاه مساويا للصفر).

انظر أيضا

مراجع

^ "معلومات عن مضلع منتظم على موقع zthiztegia.elhuyar.eus". zthiztegia.elhuyar.eus. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.
^ "معلومات عن مضلع منتظم على موقع cultureelwoordenboek.nl". cultureelwoordenboek.nl. مؤرشف من الأصل في 2016-12-08.
^ "معلومات عن مضلع منتظم على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2015-09-06.

وصلات خارجية

[1] "معلومات عن مضلع منتظم على موقع zthiztegia.elhuyar.eus". zthiztegia.elhuyar.eus. مؤرشف من الأصل في 2019-12-13.

[2] "معلومات عن مضلع منتظم على موقع cultureelwoordenboek.nl". cultureelwoordenboek.nl. مؤرشف من الأصل في 2016-12-08.

[3] "معلومات عن مضلع منتظم على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2015-09-06.

[1]

[2]

[3]

ع ن ت المُضلعات (قائمة ^{[الإنجليزية]})
التصنيف	بسيط منتظم مُقعَّر مُحدَّب دائري متساوي الزوايا متساوي الأضلاع مماسي نجمي الشكل متجانف
حسب عدد الأضلاع	أحادي (1) ثُنائِي (2) ثُلاثي (3) رُباعي (4) خُماسي (5) سُداسي (6) سُباعي (7) ثُماني (8) تُساعي (9) عُشاري (10) أحد عشري الأضلاع (11) اثنا عشري الأضلاع (12) ثلاث عشري الأضلاع (13) أربع عشري الأضلاع (14) خمس عشري الأضلاع (15) ست عشري الأضلاع (16) سبع عشري الأضلاع (17) ثماني عشري الأضلاع (18) تسع عشري الأضلاع (19) عشروني الأضلاع (20) ثلاثوني الأضلاع (30) أربعوني الأضلاع (40) خمسوني الأضلاع ^{[الإنجليزية]} (50) ستوني الأضلاع ^{[الإنجليزية]} (60) سبعوني الأضلاع ^{[الإنجليزية]} (70) ثمانوني الأضلاع ^{[الإنجليزية]} (80) تسعوني الأضلاع ^{[الإنجليزية]} (90) ذو مائة ضلع (100) ذو ألف ضلع (1000) ذو عشرة آلاف ضلع (10000) مليوني الأضلاع (1000000) لا نهائي (∞)
ثلاثيَّة	إقليدية مثلث حاد الزوايا متساوي الأضلاع متساوي الساقين مثلث منفرج الزاوية قائم الزاوية دوائر المثلث شبه مثلث قطعية قطعي تخيلي ^{[الإنجليزية]}
رباعيَّة	إقليدية متوازي أضلاع متقاطع مُعيّن مستطيل مربع شبه منحرف متساوي الساقين مماسي طائرة ورقية قائمة الزاوية متساوي الأقطار متعامد الأقطار ^{[الإنجليزية]} دائري ثنائي المركز مماسي مماسي خارجي قطعية لامبرت ساتشري
نجميّة	خماسيّة سداسيّة سباعيّة ثمانيّة تساعيّة ^{[الإنجليزية]} عشاريّة ^{[الإنجليزية]} أحد عشريّة ^{[الإنجليزية]} اثنا عشريّة ^{[الإنجليزية]}