معادلة حفظ الطاقة المدارية

في ديناميكا الفضاء ,معادلة حفظ الطاقة المدارية ((بالإنجليزية: Vis-viva equation)‏) هي أحد المعادلات الأساسية التي تحدد الحركة المدارية للأجسام.

معادلة حفظ الطاقة المدارية

معادلة حفظ الطاقة المدارية n لمدار كيبلرسواء كان بيضاوي الشكل أو قطع مكافئ أو قطع زائد أوشعاعي هي :

$v^{2}=G(M\!+\!m)\left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)$

• $v\,\!$ السرعة النسبية للجسمين
• $r\,\!$ المسافة الفاصلية بين جسمين
• $a\,\!$ محور شبه رئيسي (a>0 في حالةقطع ناقص، $a=\infty$ أو ${\tfrac {1}{a}}$=0 لـ قطع مكافئ،و a<0 لـ قطع زائد)
• $G\,\!$ ثابت الجاذبية
• $M,m\,\!$ كتلة الجسيمين

استنتاج المعادلة

طاقة المدار الكلية هي مجموع الطاقة الكامنة المشتركة والطاقة الحركية للجسم الأول M والجسم الثاني m وتعطى بالمعادلة التالية :

$E={\frac {-GMm}{r}}+{\frac {M(v_{M})^{2}}{2}}+{\frac {m(v_{m})^{2}}{2}}$

• $v_{M}\,\!$ سرعة الجسم M.
• $v_{m}\,\!$ سرعة الجسم m

ويمكن حساب طاقة المدار باستخدام كميات نسبية

$E={\frac {-GMm}{r}}+\mu {\frac {v^{2}}{2}}$

• $v\,\!$ السرعة النسبية للكتلتين
• $\mu ={\frac {Mm}{M\!+\!m}}$ كتلة مخفضة

بينما تكون الطاقة الكلية للمدار الإهليجي أو الدائري

$E={\frac {-GMm}{2a}},$

• $a\,\!$ شبه المحور الرئيسي.

$\epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {G(M\!+\!m)}{r}}$

$\epsilon ={\frac {-G(M\!+\!m)}{2a}}$

وبمساواة المعادلتين السابقتين نحصل على

$v^{2}=G(M\!+\!m)\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right).$