بيان لمتعددة حدود من الدرجة الرابعة، ذات ثلاث نقط حرجة . في الرياضيات ، يطلق مصطلح معادلة من الدرجة الرابعة (بالإنجليزية: quartic equation) على معادلة كثير الحدود من الدرجة الرابعة.[ 1]
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}
حيث
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
معادلة الدرجة الرابعة هي أعلى درجة للمعادلات كثيرة الحدود التي من الممكن حلها بواسطة الجذور، في حالتها العامة.
اعتُبرت المعادلات الرباعية لأول مرة في الرياضيات الهندية القديمة بين عامي 400 و 200 قبل الميلاد.
تنسب أول حلحلة للمعادلات من الدرجة الرابعة إلى عالم الرياضيات الإيطالي لودوفيكو فيراري وكان ذلك في عام 1540. ولكن هذه الحلحلة كانت تتطلب حلحلة معادلات من الدرجة الثالثة. في ذلك العام، لم تكن المعادلات من الدرجة الثالثة قد حلحلت بعد. لهذا السبب لم ينشر فيراري طريقته هذه، منتظرا عام 1545، حين نشر معلمه جيرولامو كاردانو كتابه أرس ماغنا .
تظهر معادلات الدرجة الرابعة في عدة تطبيقات وخاصة المتعلقة بالاستمثال .
أحيانا تستخدم معادلات الدرجة الرابعة في الرسومات الحاسوبية لحساب الإضاءة والانعكاس على عدة أشكال مثل السطح الثنائي وغيره من السطوح الكروية.
لتكن المعادلة العامة من الدرجة الرابعة:
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}
بعد القسمة على a و تغيير المجهول
y
=
x
+
b
4
a
{\displaystyle y=x+{\frac {b}{4a}}}
y
4
+
p
y
2
+
q
y
+
r
=
0
{\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0\,}
p
=
−
3
b
2
8
a
2
+
c
a
,
q
=
−
b
3
64
a
3
−
b
c
2
a
2
+
d
a
,
r
=
−
d
b
4
a
2
−
5
b
4
256
a
4
+
c
b
2
16
a
3
+
e
a
{\displaystyle p={\frac {-3b^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {c}{a}},q={\frac {-b^{3}}{64a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}},r={\frac {-db}{4a^{2}}}-{\frac {5b^{4}}{256a^{4}}}+{\frac {cb^{2}}{16a^{3}}}+{\frac {e}{a}}}
و حلها
y
1
=
1
2
(
z
1
+
z
2
+
z
3
)
{\displaystyle y_{1}={\frac {1}{2}}({\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}})}
y
2
=
1
2
(
z
1
−
z
2
−
z
3
)
{\displaystyle y_{2}={\frac {1}{2}}({\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}})}
y
3
=
1
2
(
−
z
1
+
z
2
−
z
3
)
{\displaystyle y_{3}={\frac {1}{2}}(-{\sqrt {z_{1}}}+{\sqrt {z_{2}}}-{\sqrt {z_{3}}})}
y
4
=
1
2
(
−
z
1
−
z
2
+
z
3
)
{\displaystyle y_{4}={\frac {1}{2}}(-{\sqrt {z_{1}}}-{\sqrt {z_{2}}}+{\sqrt {z_{3}}})}
حيث
z
1
{\displaystyle z_{1}}
z
2
{\displaystyle z_{2}}
z
3
{\displaystyle z_{3}}
R
(
z
)
=
z
3
+
2
p
z
2
+
(
p
2
−
4
r
)
z
−
q
2
{\displaystyle R(z)=z^{3}+2pz^{2}+(p^{2}-4r)z-q^{2}\,}
ويتم تحديد هذه الجذور الثلاثة باستخدام طريقة كاردانو
z
i
{\displaystyle {\sqrt {z_{i}}}}
z
i
{\displaystyle z_{i}\,}
z
i
{\displaystyle {\sqrt {z_{i}}}}
{
y
1
,
y
2
,
y
3
,
y
4
}
{\displaystyle \{y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}\}}
{
−
y
1
,
−
y
2
,
−
y
3
,
−
y
4
}
{\displaystyle \{-y_{1},-y_{2},-y_{3},-y_{4}\,\}}
لذلك يجب اختيار الجذور المربعة الصحيحة والتي تحقق
z
1
z
2
z
3
{\displaystyle {\sqrt {z_{1}}}{\sqrt {z_{2}}}{\sqrt {z_{3}}}}
q– .
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة:
a
4
x
4
+
a
3
x
3
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle \qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}
نقسم على
a
4
{\displaystyle a_{4}\,}
x
=
z
−
a
3
4
a
4
{\displaystyle \qquad x=z-{\frac {a_{3}}{4a_{4}}}}
لنصل إلى معادلة على صيغة :
z
4
+
p
z
2
+
q
z
+
r
=
0
{\displaystyle \qquad z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}
معادلة تكتب:
z
4
+
r
=
−
p
z
2
−
q
z
{\displaystyle \qquad z^{4}+r=-pz^{2}-qz}
نضيف
2
z
2
r
{\displaystyle \qquad 2z^{2}{\sqrt {r}}}
لطرفي المتساوية. فنحصل على:
z
4
+
2
z
2
r
+
r
=
2
z
2
r
−
p
z
2
−
q
z
{\displaystyle \qquad z^{4}+2z^{2}{\sqrt {r}}+r=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz}
نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:
(
z
2
+
r
)
2
=
2
z
2
r
−
p
z
2
−
q
z
{\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}})^{2}=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz}
من هاته النتيجة الأخيرة، نقوم بالنشر :
(
z
2
+
r
+
y
)
2
=
(
z
2
+
r
)
2
+
2
y
(
z
2
+
r
)
+
y
2
{\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=(z^{2}+{\sqrt {r}})^{2}+2y(z^{2}+{\sqrt {r}})+y^{2}}
(
z
2
+
r
+
y
)
2
=
2
z
2
r
−
p
z
2
−
q
z
+
2
y
(
z
2
+
r
)
+
y
2
{\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=2z^{2}{\sqrt {r}}-pz^{2}-qz+2y(z^{2}+{\sqrt {r}})+y^{2}}
(
z
2
+
r
+
y
)
2
=
(
2
r
−
p
+
2
y
)
z
2
−
q
z
+
2
y
r
+
y
2
{\displaystyle \qquad (z^{2}+{\sqrt {r}}+y)^{2}=(2{\sqrt {r}}-p+2y)z^{2}-qz+2y{\sqrt {r}}+y^{2}}
الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.
الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية
z
{\displaystyle {\mathcal {}}z}
q
2
−
4
(
2
r
−
p
+
2
y
)
(
2
y
r
+
y
2
)
=
0
{\displaystyle \qquad q^{2}-4(2{\sqrt {r}}-p+2y)(2y{\sqrt {r}}+y^{2})=0}
الشيء الذي يعطي، عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة
y
{\displaystyle {\mathcal {}}y}
8
y
3
+
4
(
6
r
−
p
)
y
2
+
8
(
2
r
−
p
r
)
y
−
q
2
=
0
{\displaystyle \qquad 8y^{3}+4(6{\sqrt {r}}-p)y^{2}+8(2r-p{\sqrt {r}})y-q^{2}=0}
نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد
y
0
{\displaystyle {\mathcal {}}y_{0}}
