متوسط حسابي هندسي

في الرياضيات، يعرف المتوسط الحسابي الهندسي (بالإنجليزية: Arithmetic–geometric mean)‏ لعددين حقيقيين موجبين x و y على النحو التالي:

نسمي x و y :a₀ و g₀:

${\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y.\end{aligned}}$

ثم نقم بتعريف التسلسلين المترابطين (a_n) و (g_n) كـ:

${\begin{aligned}a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,,\end{aligned}}$

حيث يأخذ الجذر التربيعي القيمة الرئيسية (قيمة موجبة). يتقارب هتان المتتاليتان إلى نفس العدد، المتوسط الحسابي الهندسي لـ x و y ؛ يُشار إليه بـ M(x, y)، أو أحيانًا بـ agm(x, y).

يستخدم الوسط الحسابي الهندسي في الخوارزميات السريعة للدوال الأسية والمثلثية، وكذلك بعض الثوابت الرياضية، بالأخص حساب الثابت π.

الأمثلة

لإيجاد المتوسط الحسابي والهندسي لـ a₀ = 24 و g₀ = 6 ، نكرر ما يلي:

${\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}$

تعطي التكرارات الخمس الأولى القيم التالية:

n	an	gn
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 745 176 983 217 305...	13.458 171 481 706 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 820...	13.458 171 481 725 615 420 766 806...

يتضاعف عدد الأرقام a_n و g_n المتفقة (تحتها خط) تقريبًا مع كل تكرار. المتوسط الحسابي و الهندسي لـ 24 و 6 هو الحد المشترك لهتين المتتاليتين، وهو تقريبا:

13.4581714817256154207668131569743992430538388544.

نبذة تاريخية

ظهرت الخوارزمية الأولى القائمة على هذا الزوج من المتتاليات في أعمال لاغرانج. تم تحليل خصائصه من قبل غاوس.

خصائص

المتوسط الهندسي لعددين موجبين لا يكون أكبر من المتوسط الحسابي.  ونتيجة لذلك ، بالنسبة إلى n > 0، (g_n) هي متتالية متزايدة، (a_n) هي متتالية متناقصة، و g_n ≤ M(x, y) ≤ a_n. هذه هي متباينة قطعية إذا كان x ≠ y.

وبالتالي فإن M(x, y) هو عدد محصور بين المتوسط الهندسي والمتوسط الحسابي لـ x و y؛ وهي أيضًا محصورة بين x وy.

إذا كان r ≥ 0، فإن M(rx,ry) = r M(x,y).

هناك الشكل التكاملي لـ M(x,y):

${\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\div \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}$

حيث K(k) هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول:

$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}$

في الواقع، بما أن العملية الحسابية الهندسية تتقارب بسرعة كبيرة، فإنها توفر طريقة فعالة لحساب التكامل الإهليلجي من خلال هذه الصيغة.