زمرة جزئية

زمرة جزئية

معلومات عامة

صنف فرعي من	زمرة submonoid (en) مجموعة مشاركة
جزء من	نظرية الزمر

الزمرة الجزئية (بالإنجليزية: Subgroup)‏ هي المجموعة الجزئية $H\!$ من عناصر الزمرة $G\!$ التي تحقق بديهيات الزمر الأربع، وبالتالي يجب أن تضم العنصر المحايد. للتعبير عن جزئية زمرة من أخرى، يُقال شفهيًّا "$H\!$ هي زمرة جزئية من $G\!$"، وتُكتب رمزيًّا $H\!\subseteq G\!$، وتُكتب أحيانًا $H\!\leq G\!$. يجب أن تكون رتبة الزمرة الجزئية من الزمرة التي رتبتها $h$ عددا قاسمًا لـ$h$. ويُقال على الزمرة الجزئية $H\!$ التي لا تضم كل عناصر الزمرة $G\!$ أنها زمرة جزئية فعلية، ويُرمز لهذه العلاقة بـ$H\!\subset G\!$ أو $H\!<G\!$.

زمرة جزئية طبيعية

في الرياضيات، تكون N زمرة جزئية طبيعية من الزمرة G إذا كانت زمرة جزئية غير متباينة invariant بالنسبة لعملية الترافق conjugation.

من أجل كل عنصر n من N وكل عنصر g من G فإن العنصر g⁻¹ng يبقى موجودا ضمن N.

يمكن كتابة عبارة (N مجموعة جزئية طبيعية من G) كما يلي :

$N\triangleleft G$.

المجموعات المشاركة ومبرهنة لاغرانج

المقالات الرئيسة: مجموعة مشاركة ومبرهنة لاغرانج (نظرية الزمر)

هي الزمرة $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$, مكونة من الأعداد الطبيعية بتردد 8 تحت عملية الجمع. الزمرة الجزئية H تحتوي على العنصرين 0 و4 فقط وهي في تقابل مع $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$. هناك أربع مجموعات مشاركة يسارية للزمرة H: H ذاتها و 1+H و 2+H و 3+H (كُتبن في ترميز جمعي بما أن الزمرة ذاتها هي زمرة أبيلية). جميعهن يجزئن الزمرة G كلها إلى مجموعات جزئية متساوية من حيث عدد العناصر ومنعزلات بعضهن عن البعض. إذن، مؤشر [G: H] هو 4.

تنص مبرهنة لاغرانج على أنه كانت G زمرة منتهية وH زمرة جزئية منها فإن :

$[G:H]={|G| \over |H|}$

حيث |G| و |H| يشيران إلى رتبة الزمرتين G و H على التوالي. وبشكل خاص، رتبة كل عنصر من الزمرة G هو قاسم لرتبها. انظر إلى زمرة جزئية نظامية.

شبه الزمرة الجزئية

في الرياضيات، شبه الزمرة الجزئية للزمرة G ، هي مجموعة جزئية من G تحقق كونها نصف زمرة semigroup مغلقة بالنسبة للجداء في هذه الزمرة.

انظر أيضا

• اختبار الزمرة الجزئية