صيغة كوشي التكاملية

صيغة كوشي التكاملية

معلومات عامة

سُمِّي باسم	أوغستان لوي كوشي
تعريف الصيغة	$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\mathsf {C}}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,\mathrm {d} z$
الرموز في الصيغة	القائمة ... $f$ : دالة رياضية $\int _{\mathsf {C}}f(z)\,\mathrm {d} z$ : contour integral ${\mathsf {C}}$ : simple closed contour $\pi$ : ط $\mathrm {i}$ : وحدة تخيلية

  ميّز عن مبرهنة التكامل لكوشي.

  ميّز عن صيغة كوشي للتكامل المتكرر.

في التحليل المركب، تنص صيغة كوشي التكاملية (بالإنجليزية: Cauchy's integral formula)‏ على أنه يمكن تحديد قيمة التابع التحليلي، المعرف على قرص، في أي نقطة داخل القرص بواسطة قيم هذا التابع على محيط هذا القرص، أي.

المبرهنة

ليكن U مجموعة مفتوحة من المستوى العقدي C وليكن القرص المنغلق D المعرف كما يلي:

$D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}$

ضمن المجموعة U بشكل كامل.

$f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz\!$

${\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}$

ومن هذه الصيغة يمكن استنتاج قابلية هذا التابع للمفاضلة بعدد لا نهائي من المرات

$f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.$

مثال

المساحة (أو السطح) الممثلة للجزء الحقيقي للدالة g(z) = z² / (z² + 2z + 2) and its singularities, with the contours الموصوفة في النص.

لتكن الدالة

$g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}$,

$g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}$

النتائج

انظر إلى نعومة دالة.

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.$

انظر أيضا

• معادلات كوشي-ريمان