عدد الواحد المكرر

Repunit prime

عدد العناصر المعروفة	11
Conjectured no. of terms	Infinite
أول عناصرها	11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111
أكبر عنصر معروف	(108177207−1)/9
موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت index	A004022 Primes of the form (10^n − 1)/9

في الرياضيات المُسلية، يُعرف عدد الواحد المكرر repunit على أنه عدد يحتوي فقط على الرقم 1 مثل 11 أو 111 أو 1111 — وهو نوع أكثر تحديدًا من العدد المكرر repdigit. يشير المصطلح الإنجليزي repunit إلـ "وحدة متكررة repeated unit" وقد صاغه ألبرت إتش بايلر في عام 1966 في كتابه "الترفيه في نظرية الأعداد Recreations in the Theory of Numbers".

الواحد المكرر الأولي هو عدد أولي مكون من تكرار الرقم 1. الأعداد الأولية التي تُحقق ذلك في نظام العد الثنائي (الأساس 2) هي أعداد ميرسين الأولية. حتى مايو 2023، كان أكبر عدد أولي معروف هو 2^82,589,933 − 1 ، وأكبر عدد أولي محتمل هو R_8177207 وأكبر عدد أولي مثبت بمنحنيات إهليلجية elliptic curve primality هو R _86453، وكلها عدد واحد مكرر وفق أساسات مختلفة.

تعريف

يُعرَّف عدد الواحد المكرر في الأساس b على أنه (يمكن أن يكون الأساس b إما موجب أو سالب)

$R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \over {b-1}}\qquad {\mbox{for }}|b|\geq 2,n\geq 1.$

وبالتالي، فإن العدد R_n^(b) يتكون من n نسخة من الرقم 1 وفق الأساس b. أول عددين من "أعداد الواحد المكرر" وفق الأساس b نحصل عليها باستخدام n = 1 و n = 2 ، وهما

$R_{1}^{(b)}={b-1 \over {b-1}}=1\qquad {\text{and}}\qquad R_{2}^{(b)}={b^{2}-1 \over {b-1}}=b+1\qquad {\text{for}}\ |b|\geq 2.$

على وجه الخصوص، تُعرَّف أعداد الواحد المكرر العشرية (أي وفق الأساس 10) التي يشار إليها غالبًا باسم عدد الواحد المكرر repunits ببساطة على أنها

$R_{n}\equiv R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \over {10-1}}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.$

وبالتالي، فإن العدد R_n = R_n⁽¹⁰⁾ يتكون من n نسخة من الرقم 1 في النظام العشري. يبدأ تسلسل أعداد الواحد المكرر وفق الأساس 10 بـ

1 ، 11 ، 111 ، 1111، 11111، 111111، ... (متسلسلة A002275 في OEIS) .

على نحو مماثل، يُمكن تعريف أعداد الواحد المكرر وفق النظام الثنائي (الأساس 2) على النحو التالي:

$R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.$

وبالتالي، فإن العدد R_n⁽²⁾ يتكون من n نسخة من الرقم 1 في النظام الثنائي. في الواقع، فإن هذه الأعداد في النظام الثنائي هي أعداد ميرسين المعروفة M_n = 2ⁿ − 1، والتي تبدأ بـ

1، 3، 7، 15، 31، 63، 127، 255، 511، 1023، 2047، 4095، 8191، 16383، 32767، 65535، ... (متسلسلة A000225 في OEIS) .

الخصائص

• أي عدد من أعداد الواحد المكرر (وفق أي أساس) يحتوي على عدد مركب من الأرقام يكون بالضرورة مركبًا. على سبيل المثال،

  R₃₅^(b) = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1 000010000100001000010000100001 = 1111111 × 1 0000001000000100000010000001 ،

حيث أن 35 = 7 × 5 = 5 × 7. لا يعتمد تحليل العوامل على الأساس b الذي يُمثِل به عدد الواحد المكرر.

أعداد الواحد المكرر (في أي أساس) التي تحتوي على عدد أولي من الأرقام هي فقط التي يمكن أن تكون أعداد أولية. وهذا شرط ضروري ولكن ليس كافيا. على سبيل المثال،

R₁₁⁽²⁾ = 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89.

• إذا p هو عدد أولي (وبالتالي عدد فردي)، فإن كل عدد أولي q من عوامل R_p^(b) يجب أن يكون إما 1+ مضاعفات 2p ، أو عامل من عوامل (b − 1). على سبيل المثال، العامل الأولي للعدد R₂₉ هو 62003 = 1 + 2·29·1069. والسبب هو أن العدد الأولي p هو أصغر أس أكبر من 1 بحيث q من عوامل (b^p - 1) ، لأن p هو عدد أولي. لذلك، ما لم يكن q من عوامل (b − 1)، p من عوامل دالة كارمايكل لـ q، وهو زوجي ويساوي (q − 1).
• أي مضاعف موجب لعدد الواحد المكرر R_n^(b) يحتوي على الأقل n أرقام غير صفرية في الأساس-b.
• أي رقم x هو "عدد واحد مكرر" مكون من رقمين وفق الأساس (x-1).
• الأرقام الوحيدة المعروفة التي تنتمي للأعداد الواحد المكرر وتتكون من 3 أرقام على الأقل وفق أكثر من أساس واحد في وقت واحد هي 31 (111 في الأساس-5 ، 11111 في الأساس-2) و8191 (111 في الأساس-90 ، 1111111111111 في الأساس-2).
• باستخدام مبدأ برج الحمام يمكن أن تظهر بسهولة أنه لكل عددين أوليين فيما بينهما من الأعداد الطبيعية (n وb)، يوجد "عدد واحد مكرر" وفق الأساس-b هو مُضاعف لـ n.
• ..

تحليل أعداد الواحد المكرر العشرية إلى عوامل

(العوامل الأولية ملونة بالأحمر red تعني أنها "عوامل جديدة"، أي أن العامل الأولي من عوامل R_n لكنه ليس من عوامل R_k لجميع قيم k < n ) (متسلسلة A102380 في OEIS)

R1 = 1 R2 = 11 R3 = 3 · 37 R4 = 11 · 101 R5 = 41 · 271 R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 R7 = 239 · 4649 R8 = 11 · 73 · 101 · 137 R9 = 32 · 37 · 333667 R10 = 11 · 41 · 271 · 9091

R11 = 21649 · 513239 R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 R13 = 53 · 79 · 265371653 R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 R17 = 2071723 · 5363222357 R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 R19 = 1111111111111111111 R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 R23 = 11111111111111111111111 R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

أصغر عامل أولي لـ R_n عند n > 1 هو

11، 3، 11، 41، 3، 239، 11، 3، 11، 21649، 3، 53، 11، 3، 11، 2071723، 3، 111111111111111111، 11، 3، 11، 111111111111 1111، 3، 41، 11، 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, ... (متسلسلة A067063 في OEIS)

أعداد الواحد المكرر الأولية

ظهر تعريف أعداد الواحد المكرر على يد علماء الرياضيات المُسلية الذين يبحثون عن العوامل الأولية لمثل هذه الأرقام.

من السهل إظهار أنه إذا كان n قابلاً للقسمة على a ، فإن R_n^(b) قابل للقسمة على R_a^(b) :

$R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),$

حيث $\Phi _{d}(x)$ هي الحد $d^{\mathrm {th} }$ من الحدود الدائرية ونطاقات d على قواسم n . وبالتالي للعدد الأولي p ،

$\Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},$

الذي له الشكل المتوقع لعدد الواحد المكرر عندما نضع b محل x.

على سبيل المثال، 9 قابلة للقسمة على 3، وبالتالي فإن R₉ قابلة للقسمة على R₃ — في الواقع، 111111111 = 111 · 1001001. الحدود الدائرية cyclotomic polynomials المقابلة $\Phi _{3}(x)$ و $\Phi _{9}(x)$ هي $x^{2}+x+1$ و $x^{6}+x^{3}+1$ ، على التوالى. وبالتالي لكي يكون R_n أوليًا، يجب بالضرورة أن يكون n أوليًا، ولكن ليس كافيًا أن يكون n أوليًا. على سبيل المثال، R₃ = 111 = 3 · 37 ليس عددا أوليا. باستثناء هذه الحالة من R₃ ، يمكن لـ p فقط أن تكون من عوامل R_n حيث n عدد أولي، إذا كان p = 2 kn + 1.

أعداد الواحد المكرر الأولية العشرية

R_n هو عدد أولي عند n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453... (التسلسل A004023 في OEIS). في 3 أبريل 2007، أعلن هارفي دوبنر (الذي اكتشف أيضًا R₄₉₀₈₁) أن R₁₀₉₂₉₇ هو عدد أولي محتمل. في 15 يوليو 2007، أعلن ماكسيم فوزني أن R₂₇₀₃₄₃ ربما يكون أوليًا. وجد سيرج باتالوف وريان بروبر أن R_5794777 وR_8177207 من الأعداد الأولية المحتملة في 20 أبريل و8 مايو 2021 على التوالي. وحتى وقت اكتشافهم، كان كل واحد منهم أكبر عدد أولي محتمل معروف. في 22 مارس 2022، ثبت في النهاية أن العدد الأولي المحتمل R₄₉₀₈₁ هو عدد أولي. وفي 15 مايو 2023، ثبت أخيرًا أن العدد الأولي المحتمل R₈₆₄₅₃ هو عدد أولي.

يوجد تخمين بأن هناك عددًا لا نهائيًا من أعداد الواحد المكرر الأولية، ويبدو أنها تحدث تقريبًا بنفس القدر الذي تتنبأ به نظرية الأعداد الأولية.

أعداد الواحد المكرر الأولية هي مجموعة فرعية تافهة من الأعداد الأولية القابلة للتبديل permutable primes، فالتبديل هنا لا معنى له لأن جميع أرقام العدد هي الرقم 1.

الخصائص الخاصة هي

• الباقي من R_n modulo 3 يساوي الباقي من n modulo 3. باستخدام 10^a ≡ 1 (mod 3) لأي a ≥ 0،
  
  n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 0 (mod R₃),
  
  
  n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R_n ≡ R₁ ≡ 1 (mod R₃),
  
  
  n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R_n ≡ R₂ ≡ 11 (mod R₃).
  
  
  لذلك، 3 | n ⇔ 3 | R_n ⇔ R₃ | R_n .
• الباقي من R_n modulo 9 يساوي الباقي من n modulo 9. باستخدام 10^a ≡ 1 (mod 9) لأي a ≥ 0،
  
  
  n ≡ r (mod 9) ⇔ R_n ≡ r (mod 9) ⇔ R_n ≡ R_r (mod R₉)،
  
  
  لـ 0 ≤ r < 9.
  
  لذلك، 9 | n ⇔ 9 | R_n ⇔ R₉ | R_n .

التاريخ

على الرغم من أنها لم تكن معروفة بهذا الاسم في ذلك الوقت، فقد درس العديد من علماء الرياضيات أعداد الواحد المكرر في الأساس 10 خلال القرن التاسع عشر في محاولة لمعرفة وتوقع الأنماط الدورية للأعداد العشرية المتكررة .

وقد اكتُشِف في وقت مبكر جدًا أنه بالنسبة لأي عدد أولي p أكبر من 5، فإن فترة التوسع العشري لـ 1/p تساوي طول أصغر عدد مقلوب قابل للقسمة على p . وقد نُشرت جداول فترة مقلوب الأعداد الأولية حتى 60000 بحلول عام 1860، وسمحت بتحليل العوامل بواسطة علماء رياضيات مثل Reuschle لجميع المقلوبات حتى R₁₆ والعديد من المقلوبات الأكبر. بحلول عام 1880، أمكن تحليل من R₁₇ إلى R₃₆ ومن الغريب أنه على الرغم من أن إدوارد لوكاس لم يُظهر أي عدد أولي أقل من ثلاثة ملايين له فترة تسعة عشر ، لم تكن هناك محاولة لاختبار أي عدد من أعداد الواحد المكرر من حيث كونها أعدادًا أولية أم لا حتى أوائل القرن العشرين. أثبت عالم الرياضيات الأمريكي أوسكار هوب أن R₁₉ عدد أولي في عام 1916 ووجد ليهمر وكرايتشيك بشكل مستقل أن R₂₃ عدد أولي في عام 1929.

ولم يحدث مزيد من التقدم في دراسة أعداد الواحد المكرر حتى ستينيات القرن العشرين، عندما سمحت أجهزة الحاسوب باكتشاف العديد من العوامل الجديدة لأعداد الواحد المكرر وتصحيح الفجوات في الجداول السابقة للفترة الأولية. وُجِد أن R₃₁₇ هو عدد أولي محتمل حوالي عام 1966، وأُثبت أنه عدد أولي بعد أحد عشر عامًا، عندما ثبت أن R₁₀₃₁ هو العدد الأولي الوحيد المحتمل من أعداد الواحد المكرر الذي يحتوي على أقل من عشرة آلاف رقم. وقد ثبت كونه عددًا أوليًا في عام 1986، لكن عمليات البحث عن المزيد من أعداد الواحد المكرر الأولية في العقد التالي باءت بالفشل باستمرار. ومع ذلك، كان هناك تطور جانبي كبير في مجال المعادلات المعممة لأعداد الواحد المكرر، والذي أنتج عددًا كبيرًا من الأعداد الأولية الجديدة والأعداد الأولية المحتملة.

منذ عام 1999، عُثر على أربعة أعداد أخرى من المحتمل أن تكون من أعداد الواحد المكرر الأولية، ولكن من غير المرجح أن يُثبَت أن أيًا منها أوليًا في المستقبل المنظور بسبب حجمها الضخم.

يسعى مشروع كانينغهام إلى توثيق تحليل العوامل الصحيحة (من بين أرقام أخرى) لأعداد الواحد المكرر وفق أساس 2 و3 و5 و6 و7 و10 و11 و12.

أرقام ديملو

لقد عرّف الدكتور كابريكار أرقام ديملو على أنها سلسلة من الأجزاء اليسرى والوسطى واليمنى، حيث يجب أن يكون الجزء الأيسر والأيمن بنفس الطول (حتى الصفر المحتمل إلى اليسار) ويجب أن يصل مجموعهما إلى رقم متكرر، وقد يحتوي الجزء الأوسط على أي رقم إضافي من هذا الرقم المتكرر. وسُميت بذلك على اسم محطة سكة حديد ديملو (التي تسمى الآن دومبيفيلي) الواقعة على بعد 30 ميلاً من بومباي على خط سكة حديد GIP آنذاك، حيث بدأ كابريكار البحث فيها. وقد اطلق عليها اسم أرقام ديملو الرائعة Wonderful Demlo numbers. وهي الأعادا على الشكل 1، 121، 12321، 1234321، ... ، 12345678987654321. إن حقيقة كون هذه هي مربعات أعداد الواحد المكرر قد دفعت بعض المؤلفين إلى تسمية أرقام ديملو بالتسلسل اللانهائي لهذه، 1، 121، 12321، ... , 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ... (متسلسلة A002477 في OEIS)، على الرغم من أنه يمكن للمرء التحقق من أن هذه ليست أرقام Demlo عند p = 10، 19، 28، ...

انظر أيضا

• كثيرة حدود الواحد All one polynomial— تعميم آخر
• تخمين جورماغتيغ Goormaghtigh conjecture
• تكرار عشري
• رقم مكرر Repdigit
• عدد Wagstaff الأولي Wagstaff prime— يمكن اعتباره من أعداد الواحد المكرر الأولية وفق أساس سالب ($b=-2$)

مصادر

• Beiler، Albert H. (2013) [1964]، Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains، Dover Recreational Math (ط. 2nd Revised)، New York: Dover Publications، ISBN:978-0-486-21096-4
• Dickson، Leonard Eugene؛ Cresse، G.H. (1999)، History of the Theory of Numbers، Volume I: Divisibility and primality (ط. 2nd Reprinted)، Providence, RI: AMS Chelsea Publishing، ISBN:978-0-8218-1934-0
• Francis، Richard L. (1988)، "Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers"، The College Mathematics Journal، ج. 19، ص. 240–246، DOI:10.1080/07468342.1988.11973120
• Gunjikar، K. R.؛ Kaprekar، D. R. (1939)، "Theory of Demlo numbers" (PDF)، Journal of the University of Bombay، ج. VIII، ص. 3–9، مؤرشف من الأصل (PDF) في 2024-09-05
• Kaprekar، D. R. (1938a)، "On Wonderful Demlo numbers"، The Mathematics Student، ج. 6، ص. 68، مؤرشف من الأصل في 2012-12-18
• Kaprekar، D. R. (1938b)، "Demlo numbers"، J. Phys. Sci. Univ. Bombay، ج. VII
• Kaprekar، D. R. (1948)، Demlo numbers، Devlali, India: Khareswada
• Ribenboim، Paulo (2 فبراير 1996)، The New Book of Prime Number Records، Computers and Medicine (ط. 3rd)، New York: Springer، ISBN:978-0-387-94457-9
• Yates، Samuel (1982)، Repunits and repetends، FL: Delray Beach، ISBN:978-0-9608652-0-8

روابط خارجية

• Weisstein, Eric W. "Repunit". MathWorld.
• The main tables of the Cunningham project.
• Repunit at The Prime Pages by Chris Caldwell.
• Repunits and their prime factors at World!Of Numbers.
• Prime generalized repunits of at least 1000 decimal digits by Andy Steward
• Repunit Primes Project Giovanni Di Maria's repunit primes page.
• Smallest odd prime p such that (b^p-1)/(b-1) and (b^p+1)/(b+1) is prime for bases 2<=b<=1024
• Factorization of repunit numbers
• Generalized repunit primes in base -50 to 50