قائمة مجسمات جونسون

في الهندسة، تُعَرّف المجسمات بأنها أجسام ثلاثية الأبعاد حيث تتصل النقاط بواسطة خطوط لتشكيل المضلعات. تُعْرَف النقاط والخطوط والمضلعات في المجسم باسم الرؤوس والحواف والوجوه، على التوالي. يُعتبر المجسم محدبًا إذا:

• كانت أقصر مسافة بين أي نقطتين من رؤوسه تقع إما داخل داخله أو على حدوده.
• لا تتشارك أي من وجوهه في نفس المستوى—لا تتواجد في نفس المستوى ولا "تكون مسطحة".
• لا تكون أي من حوافه متساوية في خط مستقيم—ليست أجزاءً من نفس الخط.

يُعرف المجسم المحدب الذي تكون وجوهه مضلعات منتظمة باسم مجسم جونسون، أو أحيانًا باسم مجسم جونسون-زالجالر. يستبعد بعض المؤلفين المجسمات الموحدة من التعريف. المجسم الموحد هو مجسم تكون وجوهه منتظمة وهي متساوية الوجه؛ تشمل الأمثلة المجسمات البلاتونية والمجسمات الأرخيميدسية بالإضافة إلى المكعبات والمضلع المضاد.

تُسمى مجسمات جونسون بهذا الاسم نسبةً إلى عالم الرياضيات الأمريكي نورمان جونسون (1930–2017)، الذي نشر قائمة تضم 92 من هذه المجسمات في عام 1966، حيث افترض بأن القائمة كاملة وأنه لا توجد أمثلة أخرى. وقد أثبتت صحتها بواسطة عالم الرياضيات الروسي-الإسرائيلي فيكتور زالجالر (1920–2020) في عام 1969.

يمكن تصنيف بعض مجسمات جونسون كمجسمات أساسية، مما يعني أنه لا يمكن فصلها بواسطة مستوى لإنشاء مجسمين صغيرين محدبين بوجوه منتظمة. المجسمات التي تلبي هذه المعايير هي الستة الأولى—هرم مربع متساوي الأضلاع، هرم خماسي الشكل، كوبولا مثلثية، كوبولا مربعة، كوبولا خماسية الشكل، وروتندا خماسية الشكل. كما يلبي هذه المعايير أحد عشر مجسمًا آخر من مجسمات جونسون، وهي على وجه التحديد على وجه التحديد، ، المعينات المتوازية المتناقصة، المجسمات المعينية ثلاثية التناقص، ديسفينويد أزز، مضاد للمربعات الأزدراء، الوتدي الإكليلي، تضخم الوتدي، هيبيسفينوميجا كورونا، ديسفينوسينجولوم، بيلونبيروتوندا، وهيبيسفينوروتوندا الثلاثي.

المجسمات العشرونية المتناقصة، المعينات المتوازية المتناقصة، المجسمات المعينية ثلاثية التناقص، مجسم ديسفينويد متماثل، مجسم مربع مضاد متماثل، مجسم تاجي إكليلي، مجسم تاجي متضخم، هيبيسفينوميجا كورونا، ديسفينوسينجولوم بيلونبيروتوندا، ووهيبيسفينوروتوندا الثلاثي. بقية مجسمات جونسون ليست أساسية، ويتم بناؤها باستخدام أول ستة مجسمات جونسون مع المجسمات البلانية والأرخيميدسية بعمليات مختلفة. تتضمن الزيادة ربط مجسمات جونسون بوجه واحد أو أكثر من المجسمات، بينما تتضمن الإطالة أو الإطالة الدورانية ربطها بأسس مكعب أو مضلع مضاد، على التوالي. يتم بناء بعض المجسمات الأخرى عن طريق التقليل، وهو إزالة أحد أول ستة مجسمات من واحد أو أكثر من وجوه المجسم.

يحتوي الجدول التالي على 92 من مجسمات جونسون، مع طول حافة $a$. يتضمن الجدول ترقيم المجسم (المشار إليه بـ $J_{n}$). كما يتضمن عدد الرؤوس والحواف والوجوه لكل مجسم، بالإضافة إلى مجموعة التناظر، ومساحة السطح $A$، والحجم $V$. لكل مجسم خصائصه الخاصة بما في ذلك التناظر والقياس. يُقال إن كائنًا ما له تناظر إذا كان هناك تحويل يطابقه بنفسه. يمكن تجميع جميع تلك التحويلات في مجموعة، جنبًا إلى جنب مع عدد عناصر المجموعة، المعروف باسم ترتيب المجموعة. في الفضاء ثنائي الأبعاد، تشمل هذه التحويلات الدوران حول مركز المضلع وانعكاس كائن حول الخط العمودي للمضلع. يُشار إلى المضلع الذي يتم تدويره بشكل متناظر بمقدار ${\textstyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}$ بـ $C_{n}$، وهو مجموعة دورانية من ترتيب $n$؛ يؤدي دمج هذا مع التناظر الانعكاسي إلى تناظر مجموعة ثنائية $D_{n}$ من ترتيب $2n$. في نقاط تناظر ثلاثية الأبعاد، تشمل التحويلات التي تحافظ على تناظر المجسم دوران حول الخط الذي يمر عبر مركز القاعدة، المعروف باسم محور التناظر، والانعكاس بالنسبة للمستويات العمودية التي تمر عبر قسم القاعدة، والذي يعرف باسم التناظر الهرمي $C_{n\mathrm {v} }$ من ترتيب $2n$. تُعرف التحويلة التي تحافظ على تناظر المجسّم بالانعكاس عبر مستوى أفقي باسم التناظر الهرمي $D_{n\mathrm {h} }$ من ترتيب $4n$. يحافظ التناظر المضاد الهرمي $D_{n\mathrm {d} }$ من ترتيب $4n$ على التناظر عن طريق تدوير نصف القاعدة السفلية والانعكاس عبر المستوى الأفقي.

تحتفظ التناظرية بالتماثل من خلال تدوير نصفها السفلي والانعكاس عبر المستوى الأفقي. تُحافظ مجموعة التناظر $C_{n\mathrm {h} }$ من الرتبة $2n$ على التماثل من خلال الدوران حول محور التناظر والانعكاس على المستوى الأفقي؛ الحالة المحددة التي تحافظ على التماثل من خلال دوران كامل واحد هي $C_{1\mathrm {h} }$ من الرتبة 2، وغالبًا ما يُشار إليها بـ $C_{s}$. تشمل قياسات الأشكال المتعددة السطوح مساحة السطح والحجم. تُحسب المساحة كقياس ثنائي الأبعاد من خلال حاصل ضرب الطول والعرض؛ بالنسبة للمتعدد السطوح، مساحة السطح هي مجموع مساحات جميع وجوهه. الحجم هو قياس لمنطقة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يمكن تحديد حجم الشكل المتعدد السطوح بطرق مختلفة: إما من خلال قاعدته وارتفاعه (مثل الأهرامات والمنشورات)، أو عن طريق تقطيعه إلى قطع وجمع أحجامها الفردية، أو من خلال إيجاد جذر متعدد الحدود يمثل الشكل المتعدد السطوح.

الأشكال الـ 92 لجونسون

$J_{n}$	اسم الشكل	صورة	الرؤوس	الحواف	الوجوه	مجموعة التناظر ورقمها الرتبة	مساحة السطح والحجم
1	هرم مربع متساوي الأضلاع		5	8	5	$C_{4v}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=\left(1+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 2.7321a^{2}\\V&={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}\\&\approx 0.2357a^{3}\end{aligned}}$
2	هرم خماسي		6	10	6	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\\&\approx 3.8855a^{2}\\V&=\left({\frac {5+{\sqrt {5}}}{24}}\right)a^{3}\\&\approx 0.3015a^{3}\end{aligned}}$
3	قبة مثلثية		9	15	8	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\\&\approx 7.3301a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\\&\approx 1.1785a^{3}\end{aligned}}$
4	قبيبة مربعة ‏		12	20	10	$C_{4v}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=\left(7+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 11.5605a^{2}\\V&=\left(1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 1.9428a^{3}\end{aligned}}$
5	Pentagonal cupola		15	25	12	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&=\left({\frac {1}{4}}\left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(145+62{\sqrt {5}}\right)}}\right)\right)a^{2}\\&\approx 16.5798a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{6}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)\right)a^{3}\\&\approx 2.3241a^{3}\end{aligned}}$
6	Pentagonal rotunda		20	35	17	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&=\left({\frac {1}{2}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {10\left(65+29{\sqrt {5}}\right)}}\right)\right)a^{2}\\&\approx 22.3472a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{12}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)\right)a^{3}\\&\approx 6.9178a^{3}\end{aligned}}$
7	Elongated triangular pyramid		7	12	7	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&=\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 4.7321a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{12}}\left({\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)\right)a^{3}\\&\approx 0.5509a^{3}\end{aligned}}$
8	Elongated square pyramid		9	16	9	$C_{4v}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=\left(5+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 6.7321a^{2}\\V&=\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{6}}\right)a^{3}\\&\approx 1.2357a^{3}\end{aligned}}$
9	Elongated pentagonal pyramid		11	20	11	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}a^{2}\\&\approx 8.8855a^{2}\\V&=\left({\frac {5+{\sqrt {5}}+6{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{24}}\right)a^{3}\\&\approx 2.022a^{3}\end{aligned}}$
10	Gyroelongated square pyramid		9	20	13	$C_{4v}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=(1+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 6.1962a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+2{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\\&\approx 1.1927a^{3}\end{aligned}}$
11	Gyroelongated pentagonal pyramid		11	25	16	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(15{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 8.2157a^{2}\\V&={\frac {1}{24}}\left(25+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 1.8802a^{3}\end{aligned}}$
12	Triangular bipyramid		5	9	6	$D_{3h}$ من الرتبة 12	${\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\\&\approx 2.5981a^{2}\\V&={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}\\&\approx 0.2358a^{3}\end{aligned}}$
13	هرم مزدوج خماسي ‏		7	15	10	$D_{5h}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&={\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\\&\approx 4.3301a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 0.603a^{3}\end{aligned}}$
14	Elongated triangular bipyramid		8	15	9	$D_{3h}$ من الرتبة 12	${\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 5.5981a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 0.6687a^{3}\end{aligned}}$
15	Elongated square bipyramid		10	20	12	$D_{4h}$ من الرتبة 16	${\begin{aligned}A&=2\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 7.4641a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left(3+{\sqrt {2}}\right)a^{3}\\&\approx 1.4714a^{3}\end{aligned}}$
16	Elongated pentagonal bipyramid		12	25	15	$D_{5h}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 9.3301a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{3}\\&\approx 2.3235a^{3}\end{aligned}}$
17	Gyroelongated square bipyramid		10	24	16	$D_{4d}$ من الرتبة 16	${\begin{aligned}A&=4{\sqrt {3}}a^{2}\\&\approx 6.9282a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\\&\approx 1.4284a^{3}\end{aligned}}$
18	Elongated triangular cupola		15	27	14	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(18+5{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 13.3301a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(5{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.7766a^{3}\end{aligned}}$
19	Elongated square cupola		20	36	18	$C_{4v}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=(15+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 19.5605a^{2}\\V&=\left(3+{\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 6.7712a^{3}\end{aligned}}$
20	Elongated pentagonal cupola		25	45	22	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+5{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 26.5798a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(5+4{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 10.0183a^{3}\end{aligned}}$
21	Elongated pentagonal rotunda		30	55	27	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}a^{2}\left(20+5{\sqrt {3}}+5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)\\&\approx 32.3472a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}a^{3}\left(45+17{\sqrt {5}}+30{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&\approx 14.612a^{3}\end{aligned}}$
22	Gyroelongated triangular cupola		15	33	20	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(6+11{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 12.5263a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}{\sqrt {{\frac {61}{2}}+18{\sqrt {3}}+30{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}}}a^{3}\\&\approx 3.5161a^{3}\end{aligned}}$
23	Gyroelongated square cupola		20	44	26	$C_{4v}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=(7+2{\sqrt {2}}+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 18.4887a^{2}\\V&=\left(1+{\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}+2{\sqrt {146+103{\sqrt {2}}}}}}\right)a^{3}\\&\approx 6.2108a^{3}\end{aligned}}$
24	Gyroelongated pentagonal cupola		25	55	32	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(20+25{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 25.2400a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{6}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 9.0733a^{3}\end{aligned}}$
25	Gyroelongated pentagonal rotunda		30	65	37	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(15{\sqrt {3}}+\left(5+3{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 31.0075a^{2}\\V&=\left({\frac {45}{12}}+{\frac {17}{12}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 13.6671a^{3}\end{aligned}}$
26	Gyrobifastigium		8	14	8	$D_{2d}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=\left(4+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 5.7321a^{2}\\V&=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 0.866a^{3}\end{aligned}}$
27	Triangular orthobicupola		12	24	14	$D_{3h}$ من الرتبة 12	${\begin{aligned}A&=2\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 9.4641a^{2}\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}\\&\approx 2.357a^{3}\end{aligned}}$
28	Square orthobicupola		16	32	18	$D_{4h}$ من الرتبة 16	${\begin{aligned}A&=2(5+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 13.4641a^{2}\\V&=\left(2+{\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.8856a^{3}\end{aligned}}$
29	Square gyrobicupola		16	32	18	$D_{4d}$ من الرتبة 16	${\begin{aligned}A&=2(5+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 13.4641a^{2}\\V&=\left(2+{\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.8856a^{3}\end{aligned}}$
30	Pentagonal orthobicupola		20	40	22	$D_{5h}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 17.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 4.6481a^{3}\end{aligned}}$
31	Pentagonal gyrobicupola		20	40	22	$D_{5d}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 17.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 4.6481a^{3}\end{aligned}}$
32	Pentagonal orthocupolarotunda		25	50	27	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&=\left(5+{\frac {1}{4}}{\sqrt {1900+490{\sqrt {5}}+210{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}}}\right)a^{2}\\&\approx 23.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 9.2418a^{3}\end{aligned}}$
33	Pentagonal gyrocupolarotunda		25	50	27	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&=\left(5+{\frac {15}{4}}{\sqrt {3}}+{\frac {7}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 23.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 9.2418a^{3}\end{aligned}}$
34	Pentagonal orthobirotunda		30	60	32	$D_{5h}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&=\left((5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 29.306a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}(45+17{\sqrt {5}})a^{3}\\&\approx 13.8355a^{3}\end{aligned}}$
35	Elongated triangular orthobicupola		18	36	20	$D_{3h}$ من الرتبة 12	${\begin{aligned}A&=2(6+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 15.4641a^{2}\\V&=\left({\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 4.9551a^{3}\end{aligned}}$
36	Elongated triangular gyrobicupola		18	36	20	$D_{3d}$ من الرتبة 12	${\begin{aligned}A&=2(6+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 15.4641a^{2}\\V&=\left({\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 4.9551a^{3}\end{aligned}}$
37	Elongated square gyrobicupola		24	48	26	$D_{4d}$ من الرتبة 16	${\begin{aligned}A&=2(9+{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 21.4641a^{2}\\V&=\left(4+{\frac {10{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 8.714a^{3}\end{aligned}}$
38	Elongated pentagonal orthobicupola		30	60	32	$D_{5h}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&=\left(20+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 27.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(10+8{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 12.3423a^{3}\end{aligned}}$
39	Elongated pentagonal gyrobicupola		30	60	32	$D_{5d}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&=\left(20+{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 27.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(10+8{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 12.3423a^{3}\end{aligned}}$
40	Elongated pentagonal orthocupolarotunda		35	70	37	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+{\sqrt {10\left(190+49{\sqrt {5}}+21{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 33.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 16.936a^{3}\end{aligned}}$
41	Elongated pentagonal gyrocupolarotunda		35	70	37	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+{\sqrt {10\left(190+49{\sqrt {5}}+21{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 33.5385a^{2}\\V&={\frac {5}{12}}\left(11+5{\sqrt {5}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 16.936a^{3}\end{aligned}}$
42	Elongated pentagonal orthobirotunda		40	80	42	$D_{5h}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {30\left(10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 39.306a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 21.5297a^{3}\end{aligned}}$
43	Elongated pentagonal gyrobirotunda		40	80	42	$D_{5d}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&=\left(10+{\sqrt {30\left(10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 39.306a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}+15{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\\&\approx 21.5297a^{3}\end{aligned}}$
44	Gyroelongated triangular bicupola		18	42	26	$D_{3}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&=\left(6+5{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 14.6603a^{2}\\V&={\sqrt {2}}\left({\frac {5}{3}}+{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}\right)a^{3}\\&\approx 4.6946a^{3}\end{aligned}}$
45	Gyroelongated square bicupola		24	56	34	$D_{4}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=\left(10+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 20.3923a^{2}\\V&=\left(2+{\frac {4}{3}}{\sqrt {2}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}+2{\sqrt {146+103{\sqrt {2}}}}}}\right)a^{3}\\&\approx 8.1536a^{3}\end{aligned}}$
46	Gyroelongated pentagonal bicupola		30	70	42	$D_{5}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 26.4313a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{3}}+{\frac {4}{3}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 11.3974a^{3}\end{aligned}}$
47	Gyroelongated pentagonal cupolarotunda		35	80	47	$C_{5}$ من الرتبة 5	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(20+35{\sqrt {3}}+7{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 32.1988a^{2}\\V&=\left({\frac {55}{12}}+{\frac {25}{12}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 15.9911a^{3}\end{aligned}}$
48	Gyroelongated pentagonal birotunda		40	90	52	$D_{5}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&=\left(10{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\\&\approx 37.9662a^{2}\\V&=\left({\frac {45}{6}}+{\frac {17}{6}}{\sqrt {5}}+{\frac {5}{6}}{\sqrt {2{\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {5}}-2}}\right)a^{3}\\&\approx 20.5848a^{3}\end{aligned}}$
49	Augmented triangular prism		7	13	8	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}(4+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 4.5981a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}(2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}})a^{3}\\&\approx 0.6687a^{3}\end{aligned}}$
50	Biaugmented triangular prism		8	17	11	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}(2+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 5.3301a^{2}\\V&={\sqrt {{\frac {59}{144}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}}}a^{3}\\&\approx 0.9044a^{3}\end{aligned}}$
51	Triaugmented triangular prism		9	21	14	$D_{3h}$ من الرتبة 12	${\begin{aligned}A&={\frac {7{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\\&\approx 6.0622a^{2}\\V&={\frac {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{4}}a^{3}\\&\approx 1.1401a^{3}\end{aligned}}$
52	Augmented pentagonal prism		11	19	10	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(8+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 9.173a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}{\sqrt {233+90{\sqrt {5}}+12{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}a^{3}\\&\approx 1.9562a^{3}\end{aligned}}$
53	Biaugmented pentagonal prism		12	23	13	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}a^{2}\left(6+4{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)\\&\approx 9.9051a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}a^{3}{\sqrt {257+90{\sqrt {5}}+24{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}\\&\approx 2.1919a^{3}\end{aligned}}$
54	Augmented hexagonal prism		13	22	11	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&=(5+4{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 11.9282a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 2.8338a^{3}\end{aligned}}$
55	Parabiaugmented hexagonal prism		14	26	14	$D_{2h}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=(4+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 12.6603a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.0695a^{3}\end{aligned}}$
56	Metabiaugmented hexagonal prism		14	26	14	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&=(4+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 12.6603a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(2{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\right)a^{3}\\&\approx 3.0695a^{3}\end{aligned}}$
57	Triaugmented hexagonal prism		15	30	17	$D_{3h}$ من الرتبة 12	${\begin{aligned}A&=3\left(1+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 13.3923a^{2}\\V&=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{3}\\&\approx 3.3052a^{3}\end{aligned}}$
58	Augmented dodecahedron		21	35	16	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.0903a^{2}\\V&={\frac {1}{24}}\left(95+43{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 7.9646a^{3}\end{aligned}}$
59	Parabiaugmented dodecahedron		22	40	20	$D_{5d}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.5349a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 8.2661a^{3}\end{aligned}}$
60	Metabiaugmented dodecahedron		22	40	20	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.5349a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 8.2661a^{3}\end{aligned}}$
61	Triaugmented dodecahedron		23	45	24	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&={\frac {3}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 21.9795a^{2}\\V&={\frac {5}{8}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 8.5676a^{3}\end{aligned}}$
62	Metabidiminished icosahedron		10	20	12	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 7.7711a^{2}\\V&={\frac {1}{6}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 1.5787a^{3}\end{aligned}}$
63	Tridiminished icosahedron		9	15	8	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 7.3265a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{8}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{24}}\right)a^{3}\\&\approx 1.2772a^{3}\end{aligned}}$
64	Augmented tridiminished icosahedron		10	18	10	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(7{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 8.1925a^{2}\\V&={\frac {1}{24}}\left(15+2{\sqrt {2}}+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 1.395a^{3}\end{aligned}}$
65	Augmented truncated tetrahedron		15	27	14	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(6+13{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 14.2583a^{2}\\V&={\frac {11}{2{\sqrt {2}}}}a^{3}\\&\approx 3.8891a^{3}\end{aligned}}$
66	Augmented truncated cube		28	48	22	$C_{4v}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=(15+10{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 34.3383a^{2}\\V&=\left(8+{\frac {16{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 15.5425a^{3}\end{aligned}}$
67	Biaugmented truncated cube		32	60	30	$D_{4h}$ من الرتبة 16	${\begin{aligned}A&=2\left(9+4{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 36.2419a^{2}\\V&=(9+6{\sqrt {2}})a^{3}\\&\approx 17.4853a^{3}\end{aligned}}$
68	Augmented truncated dodecahedron		65	105	42	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(20+25{\sqrt {3}}+110{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 102.1821a^{2}\\V&=\left({\frac {505}{12}}+{\frac {81{\sqrt {5}}}{4}}\right)a^{3}\\&\approx 87.3637a^{3}\end{aligned}}$
69	Parabiaugmented truncated dodecahedron		70	120	52	$D_{5d}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+50{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 103.3734a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 89.6878a^{3}\end{aligned}}$
70	Metabiaugmented truncated dodecahedron		70	120	52	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+50{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 103.3734a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 89.6878a^{3}\end{aligned}}$
71	Triaugmented truncated dodecahedron		75	135	62	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+35{\sqrt {3}}+90{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 104.5648a^{2}\\V&={\frac {7}{12}}\left(75+37{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 92.0118a^{3}\end{aligned}}$
72	Gyrate rhombicosidodecahedron		60	120	62	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$
73	Parabigyrate rhombicosidodecahedron		60	120	62	$D_{5d}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$
74	Metabigyrate rhombicosidodecahedron		60	120	62	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$
75	Trigyrate rhombicosidodecahedron		60	120	62	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&=\left(30+5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 59.306a^{2}\\V&=\left(20+{\frac {29{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 41.6153a^{3}\end{aligned}}$
76	Diminished rhombicosidodecahedron		55	105	52	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$
77	Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron		55	105	52	$C_{5v}$ من الرتبة 10	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$
78	Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron		55	105	52	$C_{s}$ من الرتبة 2	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$
79	Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron		55	105	52	$C_{s}$ من الرتبة 2	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(100+15{\sqrt {3}}+10{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+11{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 58.1147a^{2}\\V&=\left({\frac {115}{6}}+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 39.2913a^{3}\end{aligned}}$
80	Parabidiminished rhombicosidodecahedron		50	90	42	$D_{5d}$ من الرتبة 20	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 56.9233a^{2}\\V&={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 36.9672a^{3}\end{aligned}}$
81	Metabidiminished rhombicosidodecahedron		50	90	42	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 56.9233a^{2}\\V&={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 36.9672a^{3}\end{aligned}}$
82	Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron		50	90	42	$C_{s}$ من الرتبة 2	${\begin{aligned}A&={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 56.9233a^{2}\\V&={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 36.9672a^{3}\end{aligned}}$
83	Tridiminished rhombicosidodecahedron		45	75	32	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(60+5{\sqrt {3}}+30{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+9{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 55.732a^{2}\\V&=\left({\frac {35}{2}}+{\frac {23{\sqrt {5}}}{3}}\right)a^{3}\\&\approx 34.6432a^{3}\end{aligned}}$
84	Snub disphenoid		8	18	12	$D_{2d}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=3{\sqrt {3}}a^{2}\\&\approx 5.1962a^{2}\\V&\approx 0.8595a^{3}\end{aligned}}$
85	Snub square antiprism		16	40	26	$D_{4d}$ من الرتبة 16	${\begin{aligned}A&=2\left(1+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 12.3923a^{2}\\V&\approx 3.6012a^{3}\end{aligned}}$
86	Sphenocorona		10	22	14	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&=(2+3{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 7.1962a^{2}\\V&={\frac {1}{2}}a^{3}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}\\&\approx 1.5154a^{3}\end{aligned}}$
87	Augmented sphenocorona		11	26	17	$C_{s}$ من الرتبة 2	${\begin{aligned}A&=(1+4{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 7.9282a^{2}\\V&={\frac {1}{2}}a^{3}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\\&\approx 1.7511a^{3}\end{aligned}}$
88	Sphenomegacorona		12	28	18	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&=2\left(1+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 8.9282a^{2}\\V&\approx 1.9481a^{3}\end{aligned}}$
89	Hebesphenomegacorona		14	33	21	$C_{2v}$ من الرتبة 4	${\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}\left(2+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 10.7942a^{2}\\V&\approx 2.9129a^{3}\end{aligned}}$
90	Disphenocingulum		16	38	24	$D_{2d}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=(4+5{\sqrt {3}})a^{2}\\&\approx 12.6603a^{2}\\V&\approx 3.7776a^{3}\end{aligned}}$
91	Bilunabirotunda		14	26	14	$D_{2h}$ من الرتبة 8	${\begin{aligned}A&=\left(2+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 12.346a^{2}\\V&={\frac {1}{12}}\left(17+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\\&\approx 3.0937a^{3}\end{aligned}}$
92	Triangular hebesphenorotunda		18	36	20	$C_{3v}$ من الرتبة 6	${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\left(12+19{\sqrt {3}}+3{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)a^{2}\\&\approx 16.3887a^{2}\\V&=\left({\frac {5}{2}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{6}}\right)a^{3}\\&\approx 5.1087a^{3}\end{aligned}}$

Bibliography

• Berman، M. (1971). "Regular-faced convex polyhedra". Journal of the Franklin Institute. ج. 291 ع. 5: 329–352. DOI:10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR:0290245.
• Boissonnat، J. D.؛ Yvinec، M. (يونيو 1989). "Probing a scene of non convex polyhedra". Proceedings of the fifth annual symposium on Computational geometry. ص. 237–246. DOI:10.1145/73833.73860.
• Cromwell، P. R. (1997). Polyhedra. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN:978-0-521-66405-9.
• Diudea، M. V. (2018). Multi-shell Polyhedral Clusters. Springer. DOI:10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN:978-3-319-64123-2.
• Flusser، J.؛ Suk، T.؛ Zitofa، B. (2017). 2D and 3D Image Analysis by Moments. John Wiley & Sons. ISBN:978-1-119-03935-8.
• Hergert، W.؛ Geilhufe، M. (2018). Group Theory in Solid State Physics and Photonics: Problem Solving with Mathematica. John Wiley & Sons. ISBN:978-3-527-41300-3.
• Holme، A. (2010). Geometry: Our Cultural Heritage. Springer. DOI:10.1007/978-3-642-14441-7. ISBN:978-3-642-14441-7.
• Johnson، N. (1966). "Convex Solids with Regular Faces". Canadian Journal of Mathematics. ج. 18: 169–200. DOI:10.4153/CJM-1966-021-8.
• Litchenberg، D. R. (1988). "Pyramids, Prisms, Antiprisms, and Deltahedra". The Mathematics Teacher. ج. 81 ع. 4: 261–265. JSTOR:27965792.
• Meyer، W. (2006). Geometry and Its Applications. Academic Press. ISBN:978-0-123-69427-0.
• Parker، S. P. (1997). Dictionary of Mathematics. McGraw Hill. ISBN:978-0-070-52433-0.
• Powell، R. C. (2010). Symmetry, Group Theory, and the Physical Properties of Crystals. Springer. DOI:10.1007/978-1-4419-7598-0. ISBN:978-1-441-97598-0.
• Rajwade، A. R. (2001). Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. DOI:10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN:978-9-386-27906-4.
• Solomon، R. (2003). Abstract Algebra. جمعية الرياضيات الأمريكية. ISBN:978-0-821-84795-4.
• Slobodan، M.؛ Obradović، M.؛ Ðukanović، G. (2015). "Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms" (PDF). Journal for Geometry and Graphics. ج. 19 ع. 1: 79–91.
• Timofeenko، A. V. (2009). "The Non-Platonic and Non-Archimedean Noncomposite Polyhedra". Journal of Mathematical Sciences. ج. 162 ع. 5: 710–729. DOI:10.1007/s10958-009-9655-0.
• Todesco، G. M. (2020). "Hyperbolic Honeycomb". في Emmer، M.؛ Abate، M. (المحررون). Imagine Math 7: Between Culture and Mathematics. Springer. DOI:10.1007/978-3-030-42653-8. ISBN:978-3-030-42653-8.
• Uehara، R. (2020). Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry. Springer. DOI:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN:978-9-811-54470-5.
• Walsh، E. T. (2014). A First Course in Geometry. Dover. ISBN:978-0-486-78020-7.
• Williams، K.؛ Monteleone، C. (2021). Daniele Barbaro’s Perspective of 1568. Springer. DOI:10.1007/978-3-030-76687-0. ISBN:978-3-030-76687-0.
• Zalgaller، V. A. (1969). Convex Polyhedra with Regular Faces. Springer. ISBN:978-1-489-95671-2.

وصلات خارجية

• Hart، George W. "Johnson Solids".
• "Johnson Polyhedra". – Images of all 92 categorised Johnson solids
• "Johnson Solids". – Visualisations of all 92 Johnson solids
• Bulatov، Vladimir. "Johnson solids". – VRML models of Johnson solids
• Gagnon, Sylvain (1982). "Les polyèdres convexes aux faces régulières" [Convex polyhedra with regular faces] (PDF). Topologie Structurale [Structural Topology] (بالفرنسية) (6): 83–95.