مستخدمة:Sandra Hanbo/عدد أولي

يمكن ترتيب نقاط العدد المركب في مستطيلات فيما لا يمكن ذلك في العدد الأولي.

عدد أولي أو أولي، وهو عدد طبيعي أكبر من 1 وليس ناتج جداء أي عددين طبيعين أصغر منه. العدد المركب هو عدد طبيعي أكبر من 1 وليس أولياً، على سبيل المثال، العدد 5 هو عدد اولي لأنه هناك طريقة واحدة للحصول عليه وهي ناتج ضرب العدد ذاته بالعدد 1 (5x1 أو 1x5 لأن الضرب عملية تبديلية). لكن نجد أن الرقم 4 هو عدد مركب وذلك لأننا نستطيع الحصول عليه من ناتج ضرب 2x2، نجد أن الرقم 2 هو عدد طبيعي آخر أصغر من 4. تعتبر نظرية الأعداد الأعداد الأولية مركزية بسبب المبرهنة الأساسية في الحسابيات: كل عدد طبيعي أكبر من 1 هو إما عدد أولي أو يمكن تحليله إلى جداء أعداد أولية فريدة في ترتيبها.

الخصيصة التي تميز العدد الأولي هي الأولية. هناك طريقة بسيطة لكن بطيئة لمعرفة فيما إذا كان عدد ما أولياً أو لا، تدعى القسمة المتكررة، والتي تختبر فيما إذا كان العدد هو جداء أي أعداد صحيحة بين 2 و جذر هذا العدد. فيما تنجز الخوارزمية الأسرع عبر اختبار ميلر ورابين للأولية، يعتبر اختباراً سريعاً إلا أنه يحتمل مجالاً ضيقاً للخطأ، وكذلك اختبار أ.ك.أس لأولية عدد ما التي دوماً ما تظهر الجواب الصحيح في الزمن المتعدد الحدود، لكنها بطيئة جداً في التنفيذ العملي. هناك طرق أخرى سريعة لفحص الأولية للأعداد ببنية متخصصة، مثل أعداد ميرسين الأولية، حيث أكبر عدد أولي وجد في هذه الطريقة كان في ديسمبر 2018، وسمي بعدد ميرسين الأولي الذي يتكون من 24,862,048 خانةً عشريةً.

هناك مجموعة غير منتهية من الأعداد الاولية، مثلما برهن إقليدس حولي 300 قبل الميلاد. لا توجد صيغة بسيطة معروفة تفصل بين الأعداد الأولية والأرقام المركبة. ومع ذلك ، فإن توزيع الأعداد الأولية ضمن الأعداد الطبيعية في النطاق الواسع يمكن أن يشكل نموذجًا إحصائيًا. النتيجة الأولى في هذا الاتجاه هي مبرهنة الأعداد الأولية التي أُثبتت في نهاية القرن التاسع عشر، والتي تنص على أن احتمالية اختيار عشوائي لرقم كبير بكونه أولياً تتناسب عكساً مع عدد خاناته، أي مع لوغاريتم العدد ذاته.

لا تزال العديد من الأسئلة التاريخية المتعلقة بالأعداد الأولية دون حل. منها حدسية غولدباخ ، أن كل عدد صحيح فردي أكبر من 2 يمكن التعبير عنها بمجموع عددين أوليين، وحدسية عددان أوليان توأم التي تنص أنَّ هناك عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية والتي تحتوي على عدد أولي وحيد فيما بينها. حفزت مثل هذه الأسئلة تطوير فروع مختلفة في مجال نظرية الأعداد، مع التركيز على الجوانب التحليلية أو الجبرية للأرقام. تستخدم الأعداد الأولية في العديد من الاعمال الروتينية في تقانة المعلومات ، مثل تعمية باستخدام المفتاح العام، والذي يعتمد على صعوبة تحليل أعداد كبيرة في عواملها الأولية. في الجبر المجرد، الأشياء التي تتصرف بطريقة عامة مثل الأعداد الأولية تشمل العناصر الأولية والمثل العليا.

تعريف وأمثلة

المقالة الرئيسة: قائمة الأعداد الأولية

يدعى العدد الطبيعي عدداً أولياً إذا كان أكبر من 1 ولا يمكن الحصول عليه بجداء أعداد طبيعية أصغر منه، إن لم الغدد أولياً فيكون مركباً. {\displaystyle n}n is prime if {\displaystyle n}n items cannot be divided up into smaller equal-size groups of more than one item,

أو إن لم يكن بالإمكان الحصول على شكل مستطيل من نقاط العدد س، ويظهر نقطة واحدة زائدة في العرض أو الطول. على سبيل المثال، بين الأرقام من 1 إلى 6، هناك الأرقام 2 و3 و5 هي أرقام أولية. لأنه حسب التعريف فالعدد 4 نحصل عليه بجداء عدد أصغر منه (2x2) وكذلك العدد 6 هو جداء العددين (2x3 أو 3x2) فهي أعداد مركبة أما العدد 1 فهو غير أولي وستناقش هذه الحالة لاحقاً في المقال.

قواسم العدد الطبيعي س هي أعداد طبيعية تقسم العدد بالتساوي. كل عدد طبيعي له قاسمان حتماً هما 1 والعدد ذاته، إن كان لهذا العدد قواسم أخرى غير هذين القاسمين فلا يعد أوليَّاً. وهذه الفكرة هي تعريف آخر للعدد الأولي، لكنها مكافئة للتعريف السابق التي تنص أنه هناك أعداد طبيعية لها فقط قاسمان موجبان هما 1 والعدد ذاته. بالإضافة إلى تعريف آخر لوصف العدد ذاته، والتي تنص ان العدد س يكون أولياً إن كان أكبر من الواحد ولا يوجد أي عدد من 2 إلى س-1 تقسم العدد س بشكل متساوٍ.

أول 25 عدد أولي محصورة بين 2 و100 وهي: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29،31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97 (ترتيب A000040 في OEIS).

ليس هناك سوى العدد 2 عدداً زوجياً أولياً، لأن أي عدد زوجي آخر يمكن تمثيله بالجداء 2 x س/2، وعليه يكون الرقم 2 هو العدد الزوجي الوحيد ضمن الأعداد الأولية، وجميع الأعداد الباقية هي أعداد فردية، وتدعى بالعدد الفردي الأولي. وبذات الطريقة بالنسبة للأعداد التي خانة الآحاد فيها 5، فالعدد 5 الوحيد هو الأولي، إذ جميع الأعداد الباقية التي يكون الفردي الخاص بها هو 0 أو 5 تقبل الرقم 5 كأحد قواسمها، فهي أعداد مركبة.عندئذٍ تكون خانة الآحاد للعدد الأولي هي إما 1 أو 3 أو 7 أو 9.

يرمز لمجموعة الأعداد الأولية أحياناً بالرمز $\mathbf {P}$ (حرف P كبير وغامق) أو بالرمز $\mathbb {P}$ (حرف P كبير وبارز ومخطط).

نبذة تاريخية

تحتوي بردية ريند الرياضية، التي كتبت منذ قرابة 1550 قبل الميلاد، على توسعات كسرية مصرية بأشكال مختلفة للأعداد الأولية والمركبة. إلا انَّ أولى الدراسات الباقية حول الأعداد الأولية ترجع لرياضي اليونان القديمة. تثبت عناصر إقليدس (قرابة 300 قبل الميلاد) لا نهائية الأعداد الاولية، حيث توضح المبرهنة الأساسية في الحسابيات كيفية بناء عدد مثالي من أولية ميرسين. ظهر أيضاً غربال إراتوستينس وهو خوارزمية بسيطة لإيجاد جميع الاعداد الأولية حتى عدد ما، وما يزال مستخدمًا لإنشاء قوائم بالأعداد الأولية. توصل العالم ابن الهيثم لمبرهنة ويلسون قرابة سنة 1000 قبل الميلاد، ووصف فيها الأعداد الاولية على انَّها الارقام س التي تقسم بشكل متساوٍ على س-1! +1. كما توقع أن جميع الأعداد المثالية تأتي من بناء إقليدس باستخدام الأعداد الأولية لميرسين، لكنه لم يتمكن من إثبات ذلك. لاحظ عالم رياضيات إسلامي آخر، ابن البناء المراكشي، أنه يمكن تسريع غربال إراتوستينس بالنظر فقط في القواسم الأولية حتى الجذر التربيعي للحد الأعلى. أعاد فيبوناتشي الابتكارات من الرياضيات الإسلامية إلى أوروبا. كان كتابه (كتاب العداد) ليبر أباتشي (1202) أول من وصف تقسيم التجربة لاختبار البدائية، مرة أخرى باستخدام القواسم فقط حتى الجذر التربيعي. صرّح بيير دي فيرما عن مبرهنة فيرما الصغرى بدون إثبات عام 1640 (أثبتها لاحقاً لايبنز وأويلر). كما بحث فيرما أيضاً في أولية أعداد فيرما $2^{2^{n}}+1$. أيضاً درس مارين ميرسين أعداد ميرسين الأولية التي تكون من الشكل: $2^{P}+1$ ويكون فيها ${P}$ أولياً. اقترح كريستيان غولدباخ حدسية غولدباخ في رسالة أرسلها لأويلر، وتنص الحدسية أن كل عدد زوجي هو ناتج عن مجموع عددين أولين. أثبت أويلر حدسية الحسن بن الهيثم (المعروفة اليوم باسم مبرهنة إقليدس وأويلر) التي تشير أنَّ جميع الأعداد الزوجية المثالية يمكن إنشاءها من أعداد ميرسين الأولية، كما قدم طرقاً من التحليل الرياضي لهذا المجال في برهنة لا نهائية الأعداد الأولية، والتباعد في مجموع التبادلات للأعداد الأولية.${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots$ خمن ليجندر وغاوس أنَّه طالما x يسعى إلى اللانهاية، فإن الأعداد الأولية ل"x" تتقارب لتصبح $frac{x}{Logx}$، حيث ${Logx}$ هو اللوغاريتم الطبيعي ل"x".

كانت النتيجة الاضعف لهذه الكثافة من الاعداد الاولية أنّه في كل $n>1$ يوجد عدد اولي بين $n$ and $2n$ حسب مسلمة بيرتراند. أثبت هذه المسلمة بافنوتي تشيبيشيف عام 1852. أفكار برنارد ريمان في ورقته البحثية عام 1859 حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما أسست الخطوط العريضة لإثبات حدسية ليجيندر وغاوس. على الرغم من أن الصلة المباشرة مع فرضية ريمان لم تزل غير مثبتة، إلا أنَّ جاك هادامار وشارل جون دو لا فالي بوسان أكملا مخطط ريمان عام 1896. وأصبحت نتيجته اليوم معروفة باسم مبرهنة الأعداد الأولية. مبرهنة اخرى مهمة ظهرت في القرن التاسع عشر هي مبرهنة دركليه حول المتتاليات الحسابية، التي تشير بأن كل متتالية حسابية تحوي عدد لا نهائي من الأعداد الاولية.

عمل العديد من الرياضيين على اختبار الأولية للأعداد الأكبر من تلك التي لها تقسيم تجريبي قابلاً للتطبيق. هذه الطرق تنحصر في نماذج محددة من الأعداد وتتضمن Pépin's test لأعداد فيرمات (1877) ومبرهنة بروث (قرابة 1878) واختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما واختبار لوكاس لأولية عدد ما.

اكتشف أكبر عدد أولي باستخدام الآلات الحاسبة عام 1951. فيما ألهمت عملية البحث عن أكبر عدد أولي العديد حتى خارج دائرة الرياضيات، مثل ألطق مشروع البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت وغيرها من مشاريع الحوسبة الموزعة. فكرة أن الأعداد الأولية لها تطبيقات قليلة خارج الرياضيات الصرفة تحطمت مع اختراع التعمية باستخدام المفتاح العام و التعمية باستخدام خوارزمية آر إس إيه في سبعينيات القرن الماضي، والتي استخدمت الأعداد الأولية أساساً لها.

أدت الأهمية العملية المتزايدة لاختبار البدائية المحوسبة والعوامل إلى تطوير طرق محسنة قادرة على التعامل مع أعداد كبيرة من الأشكال غير المقيدة. تقدمت النظرية الرياضية للأعداد الأولية أيضا إلى الأمام مع مبرهنة جرين تاو (2004)التي تشير أن هناك تقدما حسابيا طويلا بشكل تعسفي للأعداد الأولية ، وإثبات يتانغ تشانغ لعام 2013 على وجود عدد لا نهائي من الفجوات الأولية ذات الحجم المحدود.

أولية العدد واحد

لم يعتبر معظم الإغريق الأوائل أن الرقم 1 هو عدد أساساً، لذلك لم يدخلوه في قائمة الأعداد الأولية. كما اعتبر عدد قليل من العلماء في اليونان القديمة والإمبراطورية الرومانية اللاحقة، بما في ذلك نيقوماخس الجرشي ويامبليخوس وبوثيوس وكاسيودوروس، أن الأعداد الأولية هي تقسيم فرعي للأعداد الفردية، لذلك لم يعتبروا الرقم 2 أوليًا أيضًا. ومع ذلك، اعتبر إقليدس وأغلبية علماء الرياضيات اليونانيين الآخرين العدد 2 أوليًا.

تبع الرياضيون المسلمون في العصور الوسطى الإغريق إلى حدٍّ كبير في عدم اعتبار الرقم 1 عدداً. بحلول العصور الوسطى وعصر النهضة ، بدأ علماء الرياضيات في التعامل مع الرقم 1 كرقم، وأدرجه بعضهم باعتباره أول عدد أولي. في منتصف القرن الثامن عشر، أدرج كريستيان جولدباخ الرقم 1 كأول رئيسي في مراسلاته مع ليونارد أويلر. ومع ذلك ، لم يعتبر أويلر نفسه أن الرقم 1 عدد أولي. في القرن التاسع عشر ، كان العديد من علماء الرياضيات لا يزالون يعتبرون الرقم 1 أولًا ، واستمر نشر قوائم الأعداد الأولية التي تضمنت 1 حتى عام 1956.

إذا تغير تعريف العدد الأولي ليضمن الرقم 1 ليكون أولياً، فستحتاج العديد من العبارات التي تتضمن أعدادًا أولية إلى إعادة صياغتها بطريقة أكثر صعوبة. على سبيل المثال ، يجب إعادة صياغة النظرية الأساسية للحساب من حيث التحليل إلى عوامل أولية أكبر من 1 ، لأن كل رقم سيكون له عدة عوامل مع أي عدد من النسخ من 1. وبالمثل ، فإن منخل إراتوستينس لن يعمل بشكل صحيح إذا تعامل مع 1 كرقم أولي ، لأنه سيقضي على جميع مضاعفات 1 (أي ، جميع الأرقام الأخرى) ويخرج فقط الرقم الفردي 1. بعض الخصائص التقنية الأخرى للأعداد الأولية لا تنطبق أيضًا على الرقم 1: على سبيل المثال ، تختلف الصيغ الخاصة بدالة أويلر الكلية أو لمجموع دالة القسمة بالنسبة للأعداد الأولية عن تلك الخاصة بـ 1. بحلول أوائل القرن العشرين ، بدأ علماء الرياضيات في الاتفاق على أنه لا ينبغي إدراج الرقم 1 باعتباره رئيسًا ، بل في فئته الخاصة باعتباره "وحدة".

خصائص الأولية

العامل الأولي

نسمي عملية الحصول على العدد من جداء أعداد اولية بتفكيك العدد إلى عوامله الأولية أو بالتحليل إلى عوامل، مثلاً:

$34866=2\times 3\times 3\times 13\times 149$
$=2\times 3^{2}\times 13\times 149$

تسمى الأعداد الموجودة في الجداء بالعوامل الأولية للعدد، ويمكن أن يكرر ذات الرقم أكثر من مرة، ويظهر المثال أعلاه عدد أولي مكرر مرتين، وعندما يكرر العدد الأولي عدد مرات، عندها يمكن تجميع هذه النسخ معاً بالرفع إلى قوى. بالعودة للمثال أعلاه، في الطريقة الثانية للحصول على العدد هي $3^{2}$ الذي يشير لمربع العدد 3 أو 3 للقوة 2.

تنبع الأهمية الأساسية للأعداد الأولية في نظرية الأعداد والرياضيات بشكل عام من المبرهنة الأساسية في الحسابيات. تنص هذه المبرهنة على أنه يمكن كتابة كل عدد صحيح أكبر من 1 ناتجاً لواحد أو أكثر من الأعداد الأولية. وبشكل أكثر أهمية، يكون هذا العدد الناتج فريداً من نوعه، بمعنى أن أي فئتين رئيسيتين من نفس العدد سيكون لهما نفس عدد النسخ من نفس الأعداد الأولية ، على الرغم من أن ترتيبها قد يختلف. لذلك، على الرغم من وجود العديد من الطرق المختلفة لإيجاد عامل باستخدام خوارزمية عامل عدد صحيح، يجب أن ينتجوا جميعًا نفس النتيجة. وبالتالي يمكن اعتبار الأعداد الأولية "اللبنات الأساسية" للأعداد الطبيعية.

تستند بعض البراهين على تفرد العوامل الأولية لعدد ما إلى توطئة إقليدس: إذا كان $p$ عدداً أولياً، و$p$ يقسم الناتج $ab$ للأعداد الصحيحة $a$ و $b,$ ثم $p$ يقسم $a$ أو $p$ يقسم $b$ (او كلاهما). على العكس من ذلك ، إذا كان الرقم $p$ له خاصية أنه عندما يقسم منتجًا فإنه يقسم دائمًا عاملًا واحدًا على الأقل من المنتج ، إذن $p$ يجب أن يكون أولياً.

اللانهائية

هناك عدد لانهائي من الأعداد الأولية، المتسلسلة مثلاً: $2-3-5-7-11-13-17-...$ لا تنتهي أبداً.

يسمى هذا البيان بمبرهنة إقليدس تكريماً للرياضي اليوناني إقليدس، الذي ينسب له أول دليل معروف على هذا البيان. هناك العديد من البراهين على اللانهائية من الأعداد الأولية المعروفة، بما في ذلك دليل أويلر التحليلي من قبل أويلر، وإثبات غولدباخ على أساس أعداد فيرما، برهان فورستنبرغ باستخدام الطوبولوجيا العامة، وإثبات كومر.

تظهر مبرهنة إقليدس أنَّ كل مجموعة منتهية من الأعداد الأولية غير مكتملة. ومفتاح الحل هنا بجداء جميع الأعداد الأولية في المجموعة وإضافة واحدة لها، أي إن كانت الأعداد $P_{1},P_{2},...,P_{n}$ سيكون الرقم الناتج هو:

$N=1+P_{1}\cdot P_{2}\cdot P_{n}$

حسب المبرهنة الأساسية في الحسابيات، فإن العدد $\mathbb {N}$ هو جداء عوامل أولية:

$N=P'_{1}\cdot P'_{2}\cdot P'_{m}$

مع عدد أولي واحد أو أكثر، يقبل العدد $\mathbb {N}$ القسمة بالتساوي على هذه العوامل، لكن باقي القسمة هو 1 بالقسمة على أي من هذه الأعداد الأولية في قامئة محددة، لذلك ليس أي من العوامل $N$ الأولية يمكن ضمه في قائمة محددة. بما أن الأعداد الأولية غير محدودة، لا يوجد قائمة محدودة للأعداد الأولية جميعها.

تسمى الأعداد المكونة من إضافة واحد إلى ناتج ضرب الأعداد الأولية الصغرى بعدد إقليدس ، تكون فيه الأعداد الخمس الاولى أولية أمّا السادس فيكون عدداً مركباً.

$1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,$

صيغ الأعداد الأولية

لا توجد صيغة فعالة معروفة للأعداد الأولية. على سبيل المثال ، لا يوجد كثير حدود غير ثابت، حتى في العديد من المتغيرات، يأخذ القيم الأولية فقط. وعلى الرغم من ذلك، هناك العديد من التعبيرات التي ترمز جميع الأعداد الأولية، أو فقط الأعداد الأولية منها. تعتمد إحدى الصيغ الممكنة على مبرهنة ويلسون وتولد الرقم 2 عدة مرات وكل الأعداد الأولية الأخرى مرة واحدة بالضبط. هناك أيضًا مجموعة من معادلات ديوفانتين في تسعة متغيرات ومعلمة واحدة بالخاصية التالية: يكون المعلمة أولًا إذا وفقط إذا كان نظام المعادلات الناتج يحتوي على حل على الأعداد الطبيعية. يمكن استخدام هذا للحصول على صيغة واحدة مع خاصية أن جميع قيمها الموجبة أولية.

في ما تكون الصيغ الأخرى لتوفير الأعداد الأولية ناتجة من ثابت ميلز ومبرهنة إدوارد ميتلاند رايت. تؤكد هاتين المبرهنتين وجود ثوابت حقيقية تحقق:

$\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor$

هي أولية لأي عدد طبيعي $n$ في الصيغة الأولى وأي عدد من الأس في الصيغة الثانية. هنا $\lfloor {}\cdot {}\rfloor$ يمثل دالتا الجزء الصحيح والمتمم الصحيح الأعلى، أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي الرقم المعني. ومع ذلك ، فهذه ليست مفيدة لتوليد الأعداد الأولية إذ يجب إنشاء الأعداد الأولية أولاً لحساب قيم $A$ أو $\mu .$

أسئلة مفتوحة

طرحت العديد من التساؤلات والتخمينات حول العدد الأولي، كثيراً ما كانت تدور حول وجود صيغ ابتدائية، والبعض منها دامت على مدى عقود من الزمن. معضلات لاندو الأربعة حول الأعداد الأولية، التي وضعها منذ 1912، لم تُحل بعد.

أحد هذه المعضلات هي حدسية غولدباخ التي تؤكد أن كل عدد صحيح زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته كمجموع عددين أوليَّين. أثبتت هذه الحدسية في عام 2014 حتى العدد $n=4\cdot 10^{18}$.

أيضا هناك حدسية غولدباخ الضعيفة التي أثبتت أيضاً في مبرهنة فينوغرادوف. تنص المبرهنة أن كل عدد صحيح فردي كبير كفايةً، يمكن كتابته كمجموعٍ من ثلاث أعداد أولية.

فيما تنص مبرهنة تشين أن كل عدد زوجي كبير كفايةً يمكن التعبير عنه بمجموع عدد أولي ونصف أولي (ناتج عددين أولين). أيضاً يمكن كتابة أي عدد صحيح أكبر من 10 كمجموع ستة أعداد أولية. يسمى فرع نظرية الأعداد الذي يدرس مثل هذه الأسئلة نظرية الأعداد المضافة.

فيما تتعلق مشاكل أخرى بالفجوات الأولية والفروق بين الأعداد الأولية المتتالية. يمكن ملاحظة فجوات أولية كبيرة بشكل تعسفي عبر ملاحظة التسلسل$n!+2,n!+3,\dots ,n!+n$ الذي يتكون من $n-1$ عدداً مركباً، لأي عدد طبيعي $n$.

هوامش

مسرد المصطلحات الإنجليزية

مَسرد المفردات الأبجدي
A
جبر مجرد	abstract algebra
نظرية الأعداد المضافة	Additive number theory
اختبار أ.ك.أس لأولية عدد ما	AKS primality test
نظرية الأعداد الجبرية	Algebraic number theory
نظرية الأعداد التحليلية	Analytic number theory
B
مسلمة بيرتراند	Bertrand's postulate
C
مبرهنة تشين	Chen's theorem
عدد مركب (مؤلف)	composite number
D
معادلة ديفونتية	Diophantine equation
مبرهنة دركليه حول المتتاليات الحسابية	Dirichlet's theorem on arithmetic progressions
قاسم	Divisor
E
مبرهنة إقليدس وأويلر	Euclid–Euler theorem
رقم إقليدس	Euclid number
توطئة إقليدس	Euclid's lemma
مبرهنة إقليدس	Euclid's theorem
F
التحليل إلى العوامل	factorization
مبرهنة فيرما الصغرى	Fermat's little theorem
أعداد فيرما شبه الأولية	Fermat pseudoprime
دالتا الجزء الصحيح والمتمم الصحيح الأعلى	Floor and ceiling functions
المبرهنة الأساسية في الحسابيات	fundamental theorem of arithmetic
برهان فورشتنبرغ على لا نهاية الأعداد الأولية	Furstenberg's proof of the infinitude of primes
G
حدسية غولدباخ	Goldbach's conjecture
حدسية غولدباخ الضعيفة	Goldbach's weak conjecture
البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت	Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)
H
I
J
K
L
معضلات لاندو	Landau's problems
اختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما	Lucas–Lehmer primality test
اختبار لوكاس لأولية عدد ما	Lucas primality test
M
عدد ميرسين الأولي	Mersenne prime
اختبار ميلر ورابين لأولية عدد ما	Miller–Rabin primality test
ثابت ميلز	Mills' constant
N
نظرية الأعداد	Number Theory
P
زمن متعدد الحدود	Polynomial time
عدد أولي	Prime
عنصر أولي	Prime element
فجوة أولية	Prime gap
	Prime ideal
مبرهنة الأعداد الأولية	Prime number theorem
احتمال	Probability
تناسب	Proportionality
مبرهنة بروث	Proth's theorem
تعمية باستخدام المفتاح العام	Public-key cryptography
R
بردية ريند الرياضية	Rhind Mathematical Papyrus
فرضية ريمان	Riemann hypothesis
S
عدد نصف أولي	Semiprime
غربال إراتوستينس	Sieve of Eratosthenes
T
قسمة متكررة	Trial division
عددان أوليان توأم	Twin prime
V
مبرهنة فينوغرادوف	Vinogradov's theorem
W
مبرهنة ويلسون	Wilson's theorem