معيار المصفوفة

في الرياضيات، معيار المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix norm)‏ هو تطبيق لمبدأ معيار المتجه علي المصفوفات.

تعريف

في ما يلي: الرمز $K$ سيعبر عن مجال الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة. نفرض أن $K^{m\times n}$ يمثل الفضاء المتجهي الذي يحتوي كل المصفوفات ذات $m$ صف و$n$ عمود ذات مدخلات تنتمي للمجال $K$، أيضًا $A^{*}$ هي مصفوفة تمثل مرافق المصفوفة $A$.

معيار المصفوفة هو معيار متجه ينتمي إلى $K^{m\times n}$ بحيث إذا كانت $\|A\|$ تمثل معيار المصفوفة $A$ فإن:

• $\|A\|\geq 0$
• $\|A\|=0$ إذا كان $A=0$
• $\|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|$ لكل $\alpha$ في $K$ لكل المصفوفات $A$ تنتمي إلى $K^{m\times n}$
• $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$ لكل المصفوفات $A$ و$B$ في $K^{m\times n}$

بالإضافة إلى ذلك، فإنه في حالة المصفوفة المربعة m = n فإن بعض (وليس الكل) المصفوفات تحقق التالي:

• $\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ لكل المصفوفات $A$ و$B$ في $K^{n\times n}$

معيار العامل الرياضي

إذا كان معيار المتجه في $K^{n}$ و$K^{m}$ معطي (حيث $K$ هو مجال الأعداد الطبيعية والمركبة) فإنه يمكن تعريف معيار العامل الرياضي المكافئ كما يلي:

${\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n}{\text{ with }}\|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n}{\text{ with }}x\neq 0\right\}\end{aligned}}$

ويكون معيار العامل الرياضي المكافئ للمعيار p في المتجهات (ويرمز له ب $\|A\|_{p}$) كما يلي:

$\|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}$

حيث p ≥ 1

هناك 3 الحالات الخاصة عند ∞,p = 1,2, ، يمكن حساب قيم المعيار كما يلي:

• $\|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$ وهو ببساطة أقصي مجموع مطلق لعمود من أعمدة المصفوفة
• $\|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$ وهو ببساطة أقصى مجموع مطلق لصف من صفوف المصفوفة
• $\|A\|_{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}$ هذه العلاقة صحيحة بشرط أن تكون المصفوفة $A$ من الدرجة -1 أو صفرية.

مثال:

• إذا كانت المصفوفة $A$ معطاة كالتالي

$A={\begin{bmatrix}-3&5&7\\2&6&4\\0&2&8\\\end{bmatrix}},$

فإن

$\|A\|_{1}=\max(|{-3}|+2+0,5+6+2,7+4+8)=\max(5,13,19)=19$

و

$\|A\|_{\infty }=\max(|{-3}|+5+7,2+6+4,0+2+8)=\max(15,12,10)=15.$

عند p = 2 فإن المعيار يسمي المعيار الإكليدي (بالإنجليزية: Euclidean norm)‏ وفي هذه الحالة يساوي أكبر قيمة فردية ويساوي أيضًا الجذر التربيعي للقيمة الذاتية للمصفوفة المعرفة الموجبةA^∗A :

$\|A\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\max }(A^{^{*}}A)}}=\sigma _{\max }(A)$

حيث A^∗ تمثل مرافق المصفوفة A.