مستخدم:Monlicht/ملعب
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Linear_subspaces_with_shading.svg/250px-Linear_subspaces_with_shading.svg.png)
الجبر الخطي (بالإنجليزية: Linear algebra) هو فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الفضاءات المتجهية (أَو الفضاءات الخطية) والتحويلات الخطية والنظم الخطية.[1]
تُشكل الفضاءات المتجهية موضوعاً مركزياً في الرياضيات الحديثة؛ لذا يُستعمل الجبر الخطي كثيراً في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي. للجبر الخطي أيضاً أهمية في الهندسة التحليلية. كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية.
التاريخ[عدل]
يعتبر أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي مؤسس علم الجبر حيث عرض في كتابه حساب الجبر والمقابلة أو الجبر أول حل منهجي للمعادلات الخطية والتربيعية.
المختصر في حساب الجبر والمقابلة هو كتاب رياضي كتب حوالي عام 830 م. ومصطلح الجبر مشتق من اسم إحدى العمليات الأساسية مع المعادلات التي وصفت في هذا الكتاب. ترجم الكتابَ إلى اللاتينية تحت عنوان Liber algebrae et almucabala، روبرت تشستر (سيغوفيا، 1145)، وأيضا ترجمه جيراردو الكريموني. وتوجد نسخة عربية فريدة محفوظة في أوكسفورد ترجمها عام 1831 إف روزين. وتوجد ترجمة لاتينية محفوظة في كامبريج.
انبثقت دراسة الجبر الخطي لأول مرة من دراسة المحددات، التي كانت تُستعمل في حلحلة نظم المعادلات الخطية. استعملت المحددات من طرف لايبنز في عام 1693، وفيما بعد، استخلص غابرييل كرامر قاعدة كرامر التي تمكن من حل الأنظمة الخطية. كان ذلك عام 1750. بعد ذلك، عمل غاوس في نظرية حلحلة الأنظمة الخطية باستعمال طريقة الحذف الغاوسي، التي نُظر إليها في البداية تطورا في الجيوديسيا.
ظهرت دراسة المصفوفات لأول مرة في إنجلترا، وكان ذلك في بدايات القرن التاسع عشر. في عام 1848، أبدع جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح Matrix (ماتريكس والتي تترجم إلى اللغة العربية بمصفوفة). مصطلح Matrix يعني باللغة اللاتينية الرّحِم. عندما كان عالم الرياضيات أرثور كايلي يدرس تركيبات التحويلات الخطية، أدى به ذلك إلى تعريف ضرب المصفوفات وإلى تعريف معكوس مصفوفة ما. كما وجد أيضا العلاقة التي تربط المصفوفات بالمحددات. وفي سنة 1882، ألف عالم الرياضيات العثماني حسين توفيق باشا كتابًا سماه «الجبر الخطي».[2]
مؤخرا، وجد عالم الصينيات الأمريكي روجر هارت أن علماء الرياضيات الصينيين وجدوا طريقة مكافئة بشكل أساسي، لحل الأنظمة المكونة من n معادلة والمحتوية على n مجهول في الجبر العصري، ألف سنة قبل الغرب.
مجال الدراسة[عدل]
الفضاءات المتجهية[عدل]
تعتبر الفضاءات المتجهية من بين أهم البنى اللائي يدرسهن الجبر الخطي. فضاء متجهي على حقل ما يرمز إليه ب F هو مجموعة V أُضيفت إليها عمليتان ثنائيتان اثنتان. تسمى عناصر V متجهات وقد تسمى عناصر F قياسات. العملية الأولى هي جمع المتجهات. تأخذ هاته العملية مدخلين لها متجهين v و w وتعطي متجه ثالث يُرمز إليه ب v + w. أما العملية الثانية، فتأخذ مدخلين لها عددا قياسياً ما a (أي عنصرا من F) و متجه ما v وتعطي متجهة جديد يُرمز إليه ب av. قد تسمى العملية الثانية جداء عدديا أو ضرباً عدديا للمتجهة v بالعدد a. (مَيز عن الجداء القياسي الذي يأخذ مدخلين له متجهتين اثنتين ويعطي عددا).
تحقق عمليتا الجمع والضرب في فضاء متجهي ما الموضوعات التالية. فيما يلي، u و v و w ثلاث متجهات من V و a و b عنصران من F.
الموضوعة | المعنى |
تجميعية الجمع | u + (v + w) = (u + v) + w |
تبادلية الجمع | u + v = v + u |
وجود العنصر المحايد في الجمع | يوجد عنصر 0 ∈ V, يسمى المتجهة المنعدمة, حيث v + 0 = v مهما كان v ∈ V. |
وجود العنصر المعاكس في الجمع | مهما كان v ∈ V, يوجد عنصر −v ∈ V, يسمى معاكس جمعي v, حيث v + (−v) = 0 |
توزيعية ضرب عدد حقيقي في مجموع متجهات | a(u + v) = au + av |
توزيعية ضرب مجموع عددين في متجهة ما | (a + b)v = av + bv |
التناسق بين الجداء القياسي والجداء المعرف داخل الحقلF . | a(bv) = (ab)v [nb 1] |
العنصر المحايد في الجداء القياسي | 1v = v, حيث 1 يشير إلى المطابق الجدائي في F. |
قد تكون عناصر فضاء متجهي عام V كائنات بطبيعات مختلفة. على سبيل المثال، قد تكون دوالا أو متعددات حدود أو متجهات أو مصفوفات. يدرس الجبر الخطي الخصائص المشتركة بين جميع الفضاءات المتجهية.
القيم الذاتية والمتجهات الذاتية[عدل]
إذا كان v متجه غير منعدم وكان Tv يساوي v مضروبة في عدد ما، فإن المستقيم المار من الصفر ومن v هو مجموعة ثابتة تحت التطبيق T (أي أن صورتها بالتطبيق T تبقى ضمنها). في هذه الحالة، يسمى v متجه ذاتي ل T. العدد λ حيث Tv = λv يسمى قيمة ذاتية ل T.
من أجل ايجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية، يُبتدأ بما يلي:
حيث Id هي مصفوفة الوحدة. من أجل حل هاته المعادلة، ينبغي حل المعادلة . دالة المحدد هي متعددة حدود. إذن، فإنه من الممكن عدم إيجاد حلول للمعادلة السابقة الذكر إذا كان العدد λ ينتمي إلى المجموعة . ولهذا السبب، تدرس الفضاءات المتجهية عادة في حقول مغلقة جبريا، مجموعة الأعداد العقدية مثالا.
التحويلات الخطية[عدل]
يقال عن تحويل أنه تحويل خطي إذا كان يستوفي الشرطين الآتيين :
لكل متجهين v و u في
نظرية المصفوفات[عدل]
الفضاءات المعرف عليها جداء داخلي[عدل]
بشكل رسمي، جداء داخلي هو تطبيق
يحقق الموضوعات الثلاثة الآتية بالنسبة إلى كل ثلاث متجهات u و v و w في V وبالنسبة إلى كل عدد a من F:
- التماثل المرافق:
لاحظ أن هاته النقطة صحيحة عندما يكون F هو مجموعة الأعداد الحقيقية R.
- الخطية لدى المدخل الأول:
- كونها موجبة عند تساوي المدخلين:
- مع تحقق التساوي فقط حين يساوي v صفرا.
تطبيقات[عدل]
حل المعادلات الخطية[عدل]
انظر إلى مصفوفة مثلثية.
مقدمة[عدل]
بدأ الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد. ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها. يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه : الداخلي والخارجي) وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي.
تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية. يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادا.
يصعب غالبا تخيل أشعة نونية البعد لكن مثل هذه الأشعة يمكن اعتبارها مجموعات مرتبة نونية مفيدة في تمثيل البيانات التي يُراد معالجتها في الكثير من العلوم. فالأشعة قائمة عناصر (مكونات) مرتبة، من الممكن تلخيص ومعالجة البيانات بشكل فعال ضمن هذا الأسلوب التجريدي من المعالجات. مثلا في علم الاقتصاد، يمكن للمرء أن يستعمل فضاءات شعاعية ثمانية الأبعاد أي مجموعات مرتبة ثمانية (8-tuples) ليمثل الناتج القومي الأعلى لثمانية بلدان مختلفة. فيمثل الناتج القومي الأعظم لبلدان ثمانية بشكل مجموعة مرتبة مثلا : (v1، v2، v3، v4، v5، v6، v7، v8).
وبالنسبة للفضاء الشعاعي أو الفضاء الخطي مصطلحا تجريديا فيمكن صياغة مبرهنات حوله، حيث يمكن اعتباره قسما من الجبر التجريدي حيث ينسجم تماما مع ذلك الفرع من الدراسة. من أمثلة ذلك: زمرة المصفوفات وحلقة الخرائط الخطية للفضاء الشعاعي. ومن أهم مايُدرس خلاله هو
- المتجهات في و
- جبر المصفوفات
- المصفوفات المربعة
- البنى الجبرية
- الفضاءات والفضاءات الجزئية المتجهية
- الترابط الخطي، القاعدة، البُعد
- التطبيقات
- التطبيقات الخطية
- فضاءات التطبيقات الخطية
- المصفوفات والتطبيقات الخطية
- تغيير القاعدة، والتشابه
- التعامد والتقطير
- الحدوديات فوق حقل
- الأشكال القانونية
- الداليات الخطية، والفضاءالثنوي
- الأشكال الخطانية(ثنائية الخطية)والتربيعية والهرميتية
- المؤثرات الخطية على فضاءات الجداء الداخلي
- تطبيقات في الهندسة والحسبان
انظر أيضاً[عدل]
- لائحة المواضيع المتعلقة بالجبر الخطي
- جبر خطي عددي
- القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
- مصفوفة تحويل
- طريقة التبسيط (برمجة)
- انحدار خطي، طريقة تستعمل في التقدير الإحصائي.
مراجع[عدل]
- ^ أديب، عادل نسيم (1 يناير 2009). الجبر. Al Manhal. ISBN:9796500139340. مؤرشف من الأصل في 2020-01-26.
- ^ Archive.org: Linear Algebra, by Hussein Tevfik نسخة محفوظة 03 نوفمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
- ^ هاته الموضوعة لا تنص على تجميعية عملية ما, بما أن هناك عمليتان in question, في الجداء القياسي: bv; and field multiplication: ab.
وصلات خارجية[عدل]
- الجبر الخطي، جيم هيفرون، كتاب على النت
- MIT محاضرات الجبر الخطي
- أدوات الجبر الخطي.
- الجبر الخطي.
- الجبر الخطي في موقع ماث وورلد.
- مراجعة الجبر الخطي و مراجعة وجيزة من بلانيت ماث.
- الجبر الخطي
- مسائل محلولة في الجبر الخطي: منتدى نقاش حول الجبر الخطي مع مسائل من المستوى السهل إلى الأصعب.
- عناصر الجبر الخطي والتجريدي: كتاب مجاني من إدوين كورنيلي.
Monlicht/ملعب في المشاريع الشقيقة: | |
ٍٍ
![]() |
---|
|
البداية
مقياس الجودة[عدل]
الصنف | المعايير | تجربة القارئ | اقتراحات التحرير | مثال | ||
---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
نالت المقالة وسم مقالة مختارة بنجاحها في ترشيح رسمي.
|
مكتوبة باحترافية، ودقيقة، وموثقة، وشاملة للموضوع. | لا حاجة لإضافة معلومات جديدة ما لم يطرأ مستجد؛ وقد يكون ممكنًا إضفاء تعديلات تحسّن الجودة. | السعودية | ||
![]() |
هذه المقالة حسنة التنظيم، وكاملة إلى حد بعيد (يحكم بذلك محررون مستقلون من مشروع الويكي أو من سواه). لا يشترط أن تكون المقالة قد نالت درجة المقالة الجيّدة حتى تكون مقالة من الفئة أ.
|
مفيدة جدًا للقراء. تعالج الموضوع بشمولٍ معقولٍ. غير المختصين لن يجدوا عادةً شيئًا يُضاف إليها. | قد تحتاج المقالة تدخلا من المختصين، وقد تستدعي معالجة لبعض مشاكل الأسلوب. | تاريخ الرياضيات | ||
![]() |
نالت المَقالة على موافقة ورِضاء المُجتمع بنجاحها في تَرشيح رَسمي وقد وسمت بمقالة جيدة.
|
مكتوبة بشكل جيد وصحيحة الإملاء والقواعد، دقيقة وموثوقة، وتُغطي كافة الجوانب الرئيسية للموضوع ومحايدة. | قد تفيد بعض التعديلات على المحتوى والأسلوب حين يجريها الخبراء؛ قد يفيد مقارنتها بمقالة مختارة عن موضوع مشابه في تبيين مواطن الضعف والنقص. | الرياض | ||
ب | هذه المقالة شبه مكتملةٍ، دون مشكلاتٍ حقيقةٍ، لكنها تتطلب بعض التعديلات لتصل إلى مستوى المقالات الجيّدة.
|
تشبع المقالة تساؤلات القارئ، لكن محتواها قد لا يكون شاملًا لدرجةٍ تُرضي الطلبة والباحثين. | ينبغي مراعاة بعض الإشكالات في المحتوى والأسلوب، وقد يتطلب ذلك مشاركة الخبراء. ينبغي أيضًا تضمين موادٍ مساندةٍ حيثما كان ذلك ملائمًا، وينبغي فحص المقالة للتأكد من اتباعها دليل الأسلوب. | مستقبل الأرض (اعتبارًا من 5 سبتمبر 2019) |
||
ج | المقالة كبيرةٌ، لكن ينقضها محتوىً مهم، أو تحتوي معلوماتٍ كثيرةٍ غير مُهمةٍ. ينبغي أن تستند المقالة إلى مراجع موثوقةٍ، لكنها قد تعاني من مشكلاتٍ تستلزم تنظيفًا شاملًا.
|
مفيدةٌ للقارئ العادي، لكنها لا تمنح صورةً مُجزِئةً لمن يبحث عن معلوماتٍ مفصلةٍ إلى حدٍ ما. | تتطلب تعديلاتٍ كبيرةٍ لتجاوز القصور، وعلاج المشكلات. | نيويورك (اعتبارًا من 5 سبتمبر 2019) |
||
بداية | هذه المقالة قيد التطوير، لكنها لا تزال بعيدةً عن الاكتمال. قد تكون تستند إلى مصادر ملائمةٍ وكافيةٍ، وقد لا تكون.
|
تحتوي على محتوىً ذا معنى، لكن معظم القراء سيحتاجون مزيدًا من المعلومات. | الاستشهاد بمراجع موثوقة هو الأولوية؛ تحتاج المقالة أيضًا تحسينًا كبيرًا في المحتوى والتنظيم، وتحتاج تحسينًا للنحو والإملاء والأسلوب وأن تترفع عن العبارات المتخصصة المبتذلة. | قصر الحمرا (اعتبارًا من 8 أبريل 2015) |
||
بذرة | تحتوي المقالة وصفًا للجوانب الهامة جدًا من الموضوع. أيضًا جميع المقالات الرديئة تحال إلى هذا الصنف.
|
تحتوي معلوماتٍ مفيدةً قليلةً جدًا؛ قد لا تتجاوز التعريف. يتنبه القراء إلى جوانب النقص في موضوعها، وقد يرونها ليست ذات قيمةٍ. | أي تعديلٍ أو إضافةٍ للمقالة مفيدٌ. إضافة محتوىً مفيدٍ هو الأولوية. أفضل حلٍ لرفع مقالات البذور لصنف البداية هو إضافة محتوى يتناول أهميّة الموضوع، وأن يكون هذا المحتوى مُعزّزًا بمصادر. | شارل جيرار (اعتبارًا من 20 سبتمبر 2019) |
||
![]() |
نالت المقالة وسم قائمة مختارة بنجاحها في ترشيح رسمي.
|
تُغطي الموضوع بشموليّة وموضوعيّة، وتضم المواد المرتبطة بالموضوع كاملةً، مع شرحٍ بسيطٍ ومناسبٍ لكل مادة في القائمة مع وجود مقالات خاصة بالعناصر إن أمكن. | لا حاجة لإضافة معلوماتٍ أكثر، ما لم تتوفر معلومات جديدة. | جدول القواسم | ||
قائمة | تحتوي المقالة بشكلٍ أساسيٍّ على قائمة، وفي العادة مجموعة وصلات إلى مقالات تقع تحت نفس الموضوع الذي تتحدّث عنه القائمة. | لا توجد صيغة موحدة للقائمة، لكن تنظيمها يجب أن يكون منطقيًّا ومفيدًا للقارئ. | القوائم يجب أن تحتوي وصلاتٍ مباشرةٍ لمقالاتٍ أخرى في ويكيبيديا، وتكون ذات تسميةٍ وتنظيمٍ مُناسبين. | جدول القواعد | ||
تصنيف | أي تصنيفٍ تندرج تحت هذا التصنيف. | التصنيفات تُستعمل بشكلٍ أساسيٍّ لتجميع عدّة مقالاتٍ في مجالٍ محددٍ مع بعضها. | التصنيفات الكبيرة ينبغي أن تُقسّم إلى تصنيفاتٍ فرعيّةٍ أكثر تخصّصًا. احرص على مراجعة التصنيف لإزالة المقالات المُصنّفة خطأً، أو التي بها تصنيف عام رغم وجود تصنيف متخصص. | تصنيف:جبر خطي | ||
توضيح | أي صفحة توضيح تندرج تحت هذا التصنيف. | تخدم الصفحة لتمييز مقالاتٍ متعددةٍ تشترك في عنوانٍ مطابقٍ أو مشابهٍ. | ينبغي إضافة المقالات الجديدة التي بعناوين مشابهةٍ لمقالاتٍ أخرى في صفحة التوضيح بعد إنشائها. أولِ اهتمامًا شديدًا بتسمية صفحات التوضيح، ففي كثيرٍ من الحالات لا تكون هنالك حاجةٌ لكلمة "(توضيح)" في العنوان. احرص أيضًا على استخدام قوالب التوضيح في المقالات الجديدة للربط، مثل قالب {{استعمالات أخرى}}. | جبر (توضيح) | ||
![]() |
الصفحات المختارة في نطاق الملفات تندرج تحت هذا التصنيف. الملف المختار يجب أن ينال وسم ملف مختار في ترشيح رسمي. | تحتوي الصفحة على صورةٍ مختارةٍ، أو مقطعٍ صوتيٍّ أو فيديو مختارٍ، أو المحتويات الأخرى المختارة المتعلّقة بالوسائط. | تأكّد أن الملف غير مخالفٍ، ويستخدم ترخيصًا مناسبًا، ويذكر جميع البيانات المطلوبة، وتنطبق عليه المعايير. | ملف:Madain Saleh (6730299351).jpg | ||
بوابة | أي صفحةٍ تقع في نطاق البوابات تندرج تحت هذا التصنيف. | تخدم البوّابات "كصفحات رئيسيّة" لموضوعات محدّدة، وتكون مدخلًا لتصفح أعمق للموضوع. | مساهمات المحررين ضروريّة لضمان تحديث البوابات باستمرار. | بوابة:حسابيات | ||
مشروع | جميع الصفحات المتعلّقة بمشاريع الويكي تندرج تحت هذا التصنيف. | تهدف صفحات المشاريع لمساعدة المحررين على تنظيم تطوير المقالات، لذلك هي في الغالب غير مفيدةٍ للقارئ. | تطوير هذه الصفحات بما يحقق هدفها الأمثل يفيد في تحسين مقالات المشروع ككل. | ويكيبيديا:مشروع ويكي رياضيات | ||
قالب | أي قالب يندرج تحت هذا التصنيف. من أشهر أنواع القوالب هي صناديق المعلومات وصناديق التصفح. | الأنواع المختلفة من القوالب التي تخدم أهدافًا مختلفة أيضًا. صناديق المعلومات توفر معلوماتٍ سريعة لأهم المعلومات حول الموضوع. صناديق التصفح تهدف لجمع المقالات المتعلقة بموضوع واحد معًا بشكلٍ يُسهل الوصول إليها، ولتسهيل تنقل القارئ بين المقالات. | صناديق المعلومات تُوضع عادةً أعلى المقالة يسارًا، بينما توضع صناديق التصفح في أسفل المقالة. للقوالب أنواع متعددة، فمنها القوالب التي تعطي معلوماتٍ طويلة جدًا، ومنها ما يُعطي القليل جدًا، ومنها ما يُقدّم معلوماتٍ متخصصةً جدًا. | قالب:فروع الرياضيات |