في الرياضيات ، يمثل المشتق الاتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات على طول متجه معين
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
x
{\displaystyle x}
المشتق الجزئي ، حيث يتم أخذ معدل التغير على طول أحد منحنيات الإحداثيات المنحنية ، وتكون جميع الإحداثيات الأخرى ثابتة.
لتكن
f
{\displaystyle f}
دالة تفاضلية متعددة المتغيرات، يمكن الإشارة إلى المشتق الاتجاهي للدالة
f
{\displaystyle f}
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
:
∇
v
f
(
x
)
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )}
f
v
′
(
x
)
{\displaystyle f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )}
D
v
f
(
x
)
{\displaystyle D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )}
D
f
(
x
)
(
v
)
{\displaystyle Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )}
∂
v
f
(
x
)
{\displaystyle \partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )}
v
⋅
∇
f
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}}
v
⋅
∂
f
(
x
)
∂
x
.
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.}
خط منسوب للدالة
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}
لتدرج باللون الأسود، ومتجه الوحدة
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
المشتق الإتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات :
f
(
x
)
=
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
على طول متجه :
v
=
(
v
1
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}
هو الدالة
∇
v
f
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}
[ 1]
∇
v
f
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
v
)
−
f
(
x
)
h
.
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}
إذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق في
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
∇
v
f
(
x
)
=
∇
f
(
x
)
⋅
v
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }
بحيث
∇
{\displaystyle \nabla }
التدرج و
⋅
{\displaystyle \cdot }
الجداء النقطي [ 2]
0
=
lim
t
→
0
f
(
x
+
t
v
)
−
f
(
x
)
−
t
D
f
(
x
)
(
v
)
t
=
lim
t
→
0
f
(
x
+
t
v
)
−
f
(
x
)
t
−
D
f
(
x
)
(
v
)
=
∇
v
f
(
x
)
−
D
f
(
x
)
(
v
)
⟹
∇
f
(
x
)
⋅
v
=
D
f
(
x
)
(
v
)
=
∇
v
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tD_{f}(x)(v)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-D_{f}(x)(v)=\nabla _{v}f(x)-D_{f}(x)(v)\\\implies &\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} =D_{f}(x)(v)=\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )\end{aligned}}}
الكثير من الخصائص المألوفة للمشتق الإعتيادي تصلح للمشتق الاتجاهي. إذا كانت دوال
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
p
{\displaystyle p}
[ 3]
قاعدة الجمع :
∇
v
(
f
+
g
)
=
∇
v
f
+
∇
v
g
.
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}
2 . قاعدة العامل الثابت :
∇
v
(
c
f
)
=
c
∇
v
f
.
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}
3 . قاعدة الضرب (أو قاعدة لايبنيس ) :
∇
v
(
f
g
)
=
g
∇
v
f
+
f
∇
v
g
.
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.}
4 . قاعدة السلسلة ( إذا كانت
h
{\displaystyle h}
g
(
p
)
{\displaystyle g(p)}
g
{\displaystyle g}
p
{\displaystyle p}
∇
v
(
h
∘
g
)
(
p
)
=
h
′
(
g
(
p
)
)
∇
v
g
(
p
)
.
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}
[ عدل ] المشتق العمودي هو مشتق اتجاهي على طول متجه عمودي على سطح ما[ 4]
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
∂
f
∂
n
=
∇
f
(
x
)
⋅
n
=
∇
n
f
(
x
)
=
∂
f
∂
x
⋅
n
=
D
f
(
x
)
[
n
]
.
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}
^ Robert Wrede. Advanced Calculus (بالإنجليزية). Schaum's outlines. ^ If the dot product is undefined, the gradient is also undefined; however, for differentiable f , the directional derivative is still defined, and a similar relation exists with the exterior derivative.
^ "Directional Derivatives" . Paul's Online Notes . مؤرشف من الأصل في 2021-05-01.^ Dr Peyam. "Normal Derivative" . Youtube . مؤرشف من الأصل في 2021-05-26.
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4f10487f6111dbab2f9d600d023737d01899fe)
