مبرهنة ستوكس المعممة

معلومات عامة
سُمِّي باسم	مبرهنة ستوكس
اشتق من	مبرهنة ستوكس
يدرسه	نظرية الفئات; تفاضل وتكامل
تعريف الصيغة
تعميم لـ	مبرهنة غرين

في حساب المتجهات وعلم الهندسة التفاضلية، مبرهنة ستوكس المعممة (بالإنجليزية: Generalized Stokes theorem)‏ أو مبرهنة ستوكس-كارتان،^[1] هي نص حول تكامل الصور التفاضلية على المشعبات، والذي يبسط ويعمم العديد من المبرهنات من حساب المتجهات. تنص مبرهنة ستوكس المعممة على أن تكامل الصورة التفاضلية ω على حدود بعض المشعب الموجه يساوي تكامل مشتقها الخارجي dω على كامل i، أي

\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }d\omega \,.

مبرهنة ستوكس المعممة في شكلها الحديث صاغها إيلي كارتن في عام 1945، بعد العمل السابق على تعميم مبرهنات حساب المتجهات من قبل فيتو فولتيرا، وإدوارد غورسا، وهنري بوانكاريه.

هذا الشكل الحديث لمبرهنة ستوكس المعممة هو تعميم واسع للنتيجة الكلاسيكية التي أبلغها لورد كلفن إلى جورج ستوكس في رسالة بتاريخ 2 يوليو 2 يوليو 1850.^[2]^[3]^[4] وضع ستوكس المبرهنة كسؤال في امتحان جائزة سميث ^{[الإنجليزية]} 1854، مما أدى إلى النتيجة التي تحمل اسمه. تم نشره لأول مرة من قبل هيرمان هانكل في 1861.^[4]^[5] ترتبط مبرهنة ستوكس الكلاسيكية هذه بالتكامل السطحي لدوران حقل متجهي $F$ على سطح (أي، تدفق دوران $F$ ) في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد إلى تكامل خطي للحقل المتجهي على حدوده (المعروف أيضًا باسم «التكامل العروي»)

التفسير الرياضياتي:

ليكن $γ : [a, b] \to R 2$ منحنى مستوي جورداني ناعم متعدد التعريف. تستلزم مبرهنة منحنى جوردان بأن $γ$ يقسم $R 2$ إلى مركبتين، أحدهما متراص والآخر غير متراص. ليكن يشير إلى الجزء المتراص المحدود من قبل $γ$ ونفترض أن $ψ : D \to R 3$ ناعم، مع $S := ψ (D)$ . إذا كانت $Γ$ المنحنى الفضائي المعرف بـ $Γ(t) = ψ (γ (t))$ ^{[ملاحظة 1]} و $F$ حقل متجهي ناعم على $R 3$ ، إذن:^[6]^[7]^[8]

\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,d\mathbf {S}

حيث يشير $\nabla \times$ إلى المؤثر التفاضلي «دوران».

هذا البيان الكلاسيكي، إلى جانب مبرهنة التباعد الكلاسيكية، والمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، ومبرهنة غرين هي ببساطة حالات خاصة من الصيغة العامة المذكورة أعلاه.

هوامش

^ γ و Γ كلاهما عُرْوات (loops)، ومع ذلك، Γ ليس بالضرورة منحنى جوردان

المصادر

^ Physics of Collisional Plasmas – Introduction to | Michel Moisan | Springer (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-04-03.
^
See:
- Katz, Victor J. (May 1979). "The history of Stokes' theorem". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 52 (3): 146–156. DOI:10.1080/0025570x.1979.11976770.
- The letter from Thomson to Stokes appears in: Thomson, William; Stokes, George Gabriel (1990). Wilson, David B. (ed.). The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869 (بالإنجليزية). Cambridge, England: Cambridge University Press. pp. 96–97. ISBN:9780521328319. Archived from the original on 2020-09-01.
- Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published proof appeared in 1861 in: Hankel, Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids] (بالإنجليزية). Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. pp. 34–37. Archived from the original on 2020-07-27. Hankel doesn't mention the author of the theorem.
- In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William, Baron Rayleigh (eds.). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes (بالإنجليزية). Cambridge, England: University of Cambridge Press. Vol. 5. pp. 320–321. Archived from the original on 2016-05-07.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المحررين (link)
^ Darrigol, Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein (بالإنجليزية). Oxford, England. p. 146. ISBN:0198505930.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: مكان بدون ناشر (link)
^ ^ا ^ب Spivak (1965), p. vii, Preface.
^
See:
- The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with إدوارد روث. See: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M. (ed.). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862 (بالإنجليزية). Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 237, footnote 2. ISBN:9780521256254. Archived from the original on 2020-09-01. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.
- Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism (بالإنجليزية). Oxford, England: Clarendon Press. Vol. 1. pp. 25–27. Archived from the original on 2016-06-23. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem".
^ Stewart، James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole.
^ This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (جامعة باث, U.K) [1], please refer the [2] نسخة محفوظة 3 أغسطس 2019 على موقع واي باك مشين.
^ This proof is also same to the proof shown in

[cgamma-6] γ و Γ كلاهما عُرْوات (loops)، ومع ذلك، Γ ليس بالضرورة منحنى جوردان

[1] Physics of Collisional Plasmas – Introduction to | Michel Moisan | Springer (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-04-03.

[2] See:
Katz, Victor J. (May 1979). "The history of Stokes' theorem". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 52 (3): 146–156. DOI:10.1080/0025570x.1979.11976770.

The letter from Thomson to Stokes appears in: Thomson, William; Stokes, George Gabriel (1990). Wilson, David B. (ed.). The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869 (بالإنجليزية). Cambridge, England: Cambridge University Press. pp. 96–97. ISBN:9780521328319. Archived from the original on 2020-09-01.

Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published proof appeared in 1861 in: Hankel, Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids] (بالإنجليزية). Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. pp. 34–37. Archived from the original on 2020-07-27. Hankel doesn't mention the author of the theorem.

In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William, Baron Rayleigh (eds.). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes (بالإنجليزية). Cambridge, England: University of Cambridge Press. Vol. 5. pp. 320–321. Archived from the original on 2016-05-07.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المحررين (link)

[4] Katz, Victor J. (May 1979). "The history of Stokes' theorem". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 52 (3): 146–156. DOI:10.1080/0025570x.1979.11976770.

[5] The letter from Thomson to Stokes appears in: Thomson, William; Stokes, George Gabriel (1990). Wilson, David B. (ed.). The Correspondence between Sir George Gabriel Stokes and Sir William Thomson, Baron Kelvin of Largs, Volume 1: 1846–1869 (بالإنجليزية). Cambridge, England: Cambridge University Press. pp. 96–97. ISBN:9780521328319. Archived from the original on 2020-09-01.

[6] Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published proof appeared in 1861 in: Hankel, Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids] (بالإنجليزية). Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. pp. 34–37. Archived from the original on 2020-07-27. Hankel doesn't mention the author of the theorem.

[7] In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William, Baron Rayleigh (eds.). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes (بالإنجليزية). Cambridge, England: University of Cambridge Press. Vol. 5. pp. 320–321. Archived from the original on 2016-05-07.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المحررين (link)

[3] Darrigol, Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein (بالإنجليزية). Oxford, England. p. 146. ISBN:0198505930.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: مكان بدون ناشر (link)

[spivak65-4] ا ^ب Spivak (1965), p. vii, Preface.

[5] See:
The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with إدوارد روث. See: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M. (ed.). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862 (بالإنجليزية). Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 237, footnote 2. ISBN:9780521256254. Archived from the original on 2020-09-01. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.

Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism (بالإنجليزية). Oxford, England: Clarendon Press. Vol. 1. pp. 25–27. Archived from the original on 2016-06-23. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem".

[11] The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with إدوارد روث. See: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M. (ed.). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862 (بالإنجليزية). Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 237, footnote 2. ISBN:9780521256254. Archived from the original on 2020-09-01. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.

[12] Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism (بالإنجليزية). Oxford, England: Clarendon Press. Vol. 1. pp. 25–27. Archived from the original on 2016-06-23. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem".

[Jame-7] Stewart، James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole.

[bath-8] This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (جامعة باث, U.K) [1], please refer the [2] نسخة محفوظة 3 أغسطس 2019 على موقع واي باك مشين.

[proofwik-9] This proof is also same to the proof shown in

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[ملاحظة 1]

[6]

[7]

[8]

ع ن ت مواضيع التفاضل والتكامل
ما قبل حساب التفاضل والتكامل ^{[الإنجليزية]}	مبرهنة ذي الحدين دوال خطيَّة مُستمِرة مُقعَّرة العاملي فرق محدود المتغير الحر والمتغير المقيد تمثيل الدالة البياني ميل المستقيم راديان مبرهنة رول القاطع المماس
النهايات	صيغة غير مُحدَّدة نهاية دالة وحيدة الجانب نهاية متتالية درجة التقريب
حساب التفاضل	مُشتَق تفاضلي ^{[الإنجليزية]} معادلة تفاضلية مؤثر تفاضلي مبرهنة القيمة المتوسطة تدوين التفاضل ^{[الإنجليزية]} لايبنز نيوتن ^{[الإنجليزية]} قواعد التفاضل الخطيَّة الرفع إلى أُس السلسلة لوبيتال الضرب قاعدة لايبنيز العامة ناتج القسمة تقنيات أخرى الدوال العكسية اللوغاريتم المعدلات المرتبطة نقاط الثبات اختبار المشتق مبرهنة القيمة المُتَّطرفة النقاط الحدية تطبيقات أُخرى طريقة نيوتن لإيجاد الجذور سلسلة تايلور
حساب التكامل	المبرهنة الأساسية مُشتَق التكامل ثابت التكامل بالتجزئة بالتعويض مُثلثي أويلر ^{[الإنجليزية]} فايرشتراس ^{[الإنجليزية]} تربيعي ^{[الإنجليزية]} شبه المنحرف مُشتَق عكسي طول القوس الحجوم بالأقراص بالطبقات الأسطوانية
حساب المتجهات	مشتق اتجاهي المؤثرات دوران تباعد تدرج لابلاس مبرهنات رئيسة التدرُّج التباعد غرين كلفن وستوكس
حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات	مبرهنة التباعد حساب المصفوفات حساب هندسي ياكوبية هيسية معامل لاغرانج تكاملات خط سطح حجم متعدد مشتق جزئي مواضيع مُتقدِّمة أشكال تفاضلية مشتق خارجي مبرهنة ستوكس المُعمَّمة حساب المُوتِّر
المتتاليات والسلاسل	متتالية حسابية هندسية ^{[الإنجليزية]} أنواع السلاسل متناوبة ذات حدين فورييه هندسية متناسقة قوى تايلور متداخلة اختبارات التقارب أبيل ^{[الإنجليزية]} السلاسل المتناوبة ^{[الإنجليزية]} كوشي للتكثيف ^{[الإنجليزية]} المقارنة المباشرة ^{[الإنجليزية]} دركليه التكامل ^{[الإنجليزية]} مقارنة النهايات ^{[الإنجليزية]} النسبة الأصل ^{[الإنجليزية]} الحد النوني
دوال وأرقام مُميَّزة	أعداد برنولي ثابت أويلر دالة أسية لوغاريتم طبيعي تقريب ستيرلينغ
تاريخ التفاضل والتكامل	شخصيات تايلور ماكلورين لايبنتس نيوتن أويلر مفاهيم تسوية ^{[الإنجليزية]} المتناهيات في الصغر التدفق قانون الاستمرارية ^{[الإنجليزية]} عمومية الجبر ^{[الإنجليزية]} كتب طريقة المبرهنات الميكانيكية طرق التدفق
قوائم	قواعد التفاضل تكاملات الدوال اللوغاريتمية الأسية المثلثية العكسية القواطع ^{[الإنجليزية]} المُكعَّبة ^{[الإنجليزية]} الزائدية العكسية الكسرية غير الكسرية النهايات
مواضيع متنوعة	الانحناء هندسة تفاضلية للمنحنيات للسطوح ^{[الإنجليزية]} صيغة أويلر وماكلورين بوق جبريل إثبات أن 22/7 أكبر من π مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى ^{[الإنجليزية]} مجسم شتاينميتز ^{[الإنجليزية]}
تصنيف كومنز بوابة رياضيات بوابة تحليل رياضي بوابة هندسة رياضية